ЕЛІПСОЇД: ХАРАКТЕРИСТИКИ ТА ПРИКЛАДИ - АРТЕ - 2026

Еліпсоїда є поверхнею в просторі , яке належить до групи поверхонь другого і чиє загальне рівняння має вигляд:

Це тривимірний еквівалент еліпса, який характеризується наявністю еліптичних та кругових слідів у деяких особливих випадках. Сліди - це криві, отримані при перетині еліпсоїда з площиною.

Рисунок 1. Три різні еліпсоїди: вгорі сфера, в якій три піввісі рівні, внизу ліва сфероїда, з двома рівними піввісями та іншою, і, нарешті, праворуч внизу, тривісний сфероїд, з трьома різними осями довжина. Джерело: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Окрім еліпсоїда, існує ще п’ять квадриків: однолистовий та дволистовий гіперболоїд, два типи параболоїдів (гіперболічний та еліптичний) та еліптичний конус. Сліди його також конічні.

Еліпсоїд можна також виразити стандартним рівнянням у декартових координатах. Еліпсоїд із центром у початку (0,0,0) і виражений таким чином, нагадує еліпс, але з додатковим терміном:

Значення a, b і c - дійсні числа, що перевищують 0, і являють собою три піввісі еліпсоїда.

Еліпсоїдні характеристики

- Стандартне рівняння

Стандартне рівняння в декартових координатах для центру еліпса в точці (h, k, m) дорівнює:

- Параметричні рівняння еліпсоїда

У сферичних координатах еліпсоїд можна описати так:

x = a sin θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Напівосі еліпсоїда залишаються a, b і c, тоді як параметри - кути θ і φ наступного малюнка:

Малюнок 2. Сферична система координат. Еліпсоїд можна параметризувати, використовуючи відображені кути theta і phi як параметри. Джерело: Wikimedia Commons. Andeggs / Загальнодоступне надбання.

- Сліди еліпсоїда

Загальне рівняння поверхні в просторі F (x, y, z) = 0, а сліди поверхні - криві:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- у = с; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

У разі еліпсоїда такі криві - це еліпси, а іноді й кола.

- Обсяг

Об'єм V еліпсоїда задається (4/3) π кратним добутку трьох його піввісей:

V = (4/3) π. абс

Особливі випадки еліпсоїда

-Еліпсоїд стає сферою, коли всі піввісі однакового розміру: a = b = c ≠ 0. Це має сенс, оскільки еліпсоїд - це сфера, яка по-різному розтягнута вздовж кожної вісь.

-Сфероїд - це еліпсоїд, у якому дві піввісі однакові, а третя - однакова, наприклад, це може бути a = b ≠ c.

Сфероїд також називають еліпсоїдом обертання, оскільки він може бути породжений обертанням еліпсів навколо осі.

Якщо вісь обертання збігається з основною віссю, сфероїд є пролатним, але якщо він збігається з другорядною віссю, він є косооким:

Малюнок 3. Обліпуйте сфероїд зліва і випрофілюйте сфероїд праворуч. Джерело: Wikimedia Commons.

Міра сплющення сфероїда (еліптичність) задається різницею довжини між двома піввісями, вираженою в дробовій формі, тобто це одиничне сплющення, задане:

f = (a - b) / a

У цьому рівнянні a являє собою пів-магістральну вісь, а b напівзначну вісь, пам’ятайте, що третя вісь дорівнює сферичній. Значення f становить від 0 до 1, а для сфероїда воно повинно бути більше 0 (якби воно було рівним 0, ми просто мали б сферу).

Опорний еліпсоїд

Планети і взагалі зорі, як правило, не є ідеальними сферами, тому що обертальний рух навколо їх осей згладжує тіло на полюсах і випинає його на екваторі.

Ось чому Земля виявляється схожою на сплетений сфероїд, хоча і не настільки перебільшена, як на попередній фігурі, і зі свого боку газовий гігант Сатурн є найбільш плоским із планет Сонячної системи.

Отже, більш реалістичним способом представити планети є припущення, що вони схожі на сфероїд або еліпсоїд обертання, напівмайорна вісь яких - екваторіальний радіус, а напівмаловажна вісь - полярний радіус.

Ретельні вимірювання, зроблені на земній кулі, дали можливість побудувати еталонний еліпсоїд Землі як найбільш точний спосіб роботи з ним математично.

Зірки також мають обертальні рухи, які надають їм більш-менш сплющені форми. Швидка зірка Ахернар, восьма найяскравіша зірка на нічному небі, у південному сузір'ї Ерідануса надзвичайно еліптична в порівнянні з більшістю. Це 144 світлових років від нас.

З іншого боку, кілька років тому вчені знайшли найбільш сферичний об'єкт, який коли-небудь знайшли: зірка Кеплер 11145123, що знаходиться на відстані 5000 світлових років, вдвічі більша від нашого Сонця та різниця між піввісями всього 3 км. Як і очікувалося, він також крутиться повільніше.

Що стосується Землі, то вона не є досконалим сфероїдом або через його міцну поверхню та локальні коливання сили тяжіння. З цієї причини існує більше одного опорного сфероїда, і на кожній ділянці вибирається найбільш відповідна місцевій географії.

Допомога супутників неоціненна у створенні все більш точних моделей форми Землі, завдяки їм відомо, наприклад, що південний полюс ближче до екватора, ніж північний полюс.

Фігура 4. Хаумея, транснептунівська карликова планета має еліпсоїдальну форму. Джерело: Wikimedia Commons.

Числовий приклад

Завдяки обертанню Землі утворюється відцентрова сила, яка надає їй форму довгастого еліпсоїда, а не сфери. Екваторіальний радіус Землі, як відомо, становить 3963 милі, а полярний радіус - 3942 милі.

Знайдіть рівняння екваторіального сліду - еліпсоїда та міру його сплющення. Порівняйте також еліптичність Сатурна із наведеними нижче даними:

-Екваторіальний радіус Сатурна: 60,268 км

-Полярний радіус Сатурна: 54 364 км

Рішення

Потрібна система координат, яку ми будемо вважати зосередженою на походження (центр Землі). Будемо вважати вертикальну вісь z, а слід, який відповідає екватору, лежить на площині xy, еквівалентний площині z = 0.

В екваторіальній площині піввісі a і b рівні, тому a = b = 3963 милі, а c = 3942 милі. Це особливий випадок: сфероїд з центром у точці (0,0,0), як згадувалося вище.

Екваторіальний слід - це коло радіусом R = 3963 милі, зосереджене біля початку. Він обчислюється шляхом складання z = 0 у стандартне рівняння:

А стандартним рівнянням наземного еліпсоїда є:

f _Земля = (a - b) / a = (3963-3942) миль / 3963 миль = 0,0053

f _Сатурн = (60268-54363) км / 60268 км = 0,0980

Зауважимо, що еліптичність f - безрозмірна величина.

Список літератури

1. ArcGIS для робочого столу. Сфероїди та сфери. Відновлено з: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Таємниця найсферичнішого об’єкта, коли-небудь відкритого у Всесвіті. Відновлено з: bbc.com.
3. Ларсон, Р. Обчислення та аналітична геометрія. Шосте видання. Том 2. McGraw Hill.
4. Вікіпедія. Еліпсоїд. Відновлено з: en.wikipedia.org.
5. Вікіпедія. Сфероїд. Відновлено з: en.wikipedia.org.