ПІФАГОРІЙСЬКІ ІДЕНТИЧНОСТІ: ДЕМОНСТРАЦІЯ, ПРИКЛАД, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Піфагорові тотожності - це все тригонометричні рівняння, які дотримуються будь-якого значення кута і засновані на теоремі Піфагора. Найвідомішою з піфагорійських ідентичностей є фундаментальна тригонометрична ідентичність:

Гріх ² (α) + Cos ² (α) = 1

Малюнок 1. Піфагорові тригонометричні тотожності.

Далі за важливістю я використовую піфагорійську тотожність дотичної та сеансної:

Тан ² (α) + 1 = Sec ² (α)

І піфагорійська тригонометрична тотожність, що включає котангент і козант:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Демонстрація

Тригонометричні співвідношення синус і косинус представлені на колі радіуса один (1), відомий як тригонометричне коло. Згадане коло має свій центр біля початку координат О.

Кути вимірюються від позитивної піввісі Xs, наприклад кута α на малюнку 2 (див. Нижче). Проти годинникової стрілки, якщо кут позитивний, і за годинниковою стрілкою, якщо це від'ємний кут.

Проведено промінь із початком O та кутом α, який перетинає одиничне коло в точці P. Точка P проектується ортогонально на горизонтальній осі X, створюючи точку C. Аналогічно P проектується перпендикулярно на вертикальній осі Y, даючи місце для пункту S.

Маємо правильний трикутник OCP при C.

Синус і косинус

Слід пам’ятати, що синус тригонометричного відношення визначається на правильному трикутнику так:

Синус кута трикутника - це відношення або коефіцієнт між ногою, протилежною кута, і гіпотенузою трикутника.

Застосований до трикутника OCP фігури 2, це виглядатиме так:

Sen (α) = CP / OP

але CP = ОС і OP = 1, так що:

Sen (α) = ОС

Що означає, що проекційна ОС на вісь Y має значення, рівне синусу відображеного кута. Слід зазначити, що максимальне значення синуса кута (+1) виникає при α = 90º, а мінімальне (-1), коли α = -90º або α = 270º.

Малюнок 2. Тригонометричне коло, що показує зв'язок між теоремою Піфагора та фундаментальною тригонометричною тотожністю. (Власна розробка)

Аналогічно косинус кута є коефіцієнтом між ногою, що прилягає до кута, і гіпотенузою трикутника.

Застосований до трикутника OCP фігури 2, це виглядатиме так:

Cos (α) = OC / OP

але OP = 1, так що:

Cos (α) = OC

Це означає, що проекція OC на вісь X має значення, рівне синусу показаного кута. Слід зазначити, що максимальне значення косинуса (+1) має місце при α = 0º або α = 360º, тоді як мінімальне значення косинуса - (-1), коли α = 180º.

Фундаментальна ідентичність

Для правильного трикутника OCP в C застосовується теорема Піфагора, яка говорить, що сума квадрата ніг дорівнює квадрату гіпотенузи:

CP ² + OC ² = OP ²

Але вже було сказано, що CP = OS = Sen (α), що OC = Cos (α) і що OP = 1, тому попередній вираз можна переписати як функцію синуса і косинуса кута:

Гріх ² (α) + Cos ² (α) = 1

Вісь дотичної

Так само, як вісь X у тригонометричному колі є віссю косинуса, а вісь Y - синусоїдою, так само є дотична вісь (див. Рисунок 3), яка є точно дотичною до одиничного кола в точці Б координат (1, 0).

Якщо ви хочете знати значення дотичної точки кута, кут виводиться з позитивної піввісі X, перетин кута з віссю дотичної визначає крапку Q, довжина відрізка OQ - дотична кут.

Це тому, що за визначенням дотична кута α є протилежною ніжкою QB між сусідньою ніжкою OB. Тобто Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Малюнок 3. Тригонометричне коло, що показує вісь дотичної та піфагорову тотожність дотичної. (Власна розробка)

Піфагорійська тотожність дотичної

Піфагорову тотожність дотичної можна довести, розглядаючи правильний трикутник OBQ на B (мал. 3). Застосовуючи теорему Піфагора до цього трикутника, маємо, що BQ ² + OB ² = OQ ² . Але вже було сказано, що BQ = Tan (α), що OB = 1 і що OQ = Sec (α), так що, замінюючи піфагорійську рівність для правильного трикутника OBQ, маємо:

Тан ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Приклад

Перевірте, чи виконані піфагорові тотожності у правильному трикутнику ніг AB = 4 та BC = 3.

Рішення: Ноги відомі, потрібно визначити гіпотенузу, а саме:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Кут ∡BAC буде називатися α, ∡BAC = α. Тепер визначаються тригонометричні співвідношення:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Отже α = BC / AB = 3/4

Котан α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Він починається з фундаментальної тригонометричної ідентичності:

Гріх ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Зроблено висновок, що воно виконується.

- Наступна піфагорейська ідентичність - це дотична:

Тан ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

І робиться висновок, що тотожність дотичної перевіряється.

- Аналогічним чином, як і для котангенсу:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Зроблено висновок, що він також виконаний, з чим виконано завдання перевірки піфагорійських тотожностей для даного трикутника.

Розв’язані вправи

Доведіть наступні тотожності на основі визначень тригонометричних співвідношень та піфагорейських тотожностей.

Вправа 1

Доведіть, що Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Рішення: У правій частині ми розпізнаємо чудовий добуток множення двочлена на його сполучник, який, як ми знаємо, є різницею квадратів:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Потім термін із синусом у правій частині переходить у лівий бік зі зміненим знаком:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Зазначаючи, що фундаментальна тригонометрична тотожність була досягнута, тому робиться висновок, що даний вираз є тотожністю, тобто є правдою для будь-якого значення x.

Вправа 2

Починаючи з фундаментальної тригонометричної тотожності та використовуючи визначення тригонометричних співвідношень, продемонструйте піфагорійську ідентичність сезанта.

Рішення: Основна ідентичність:

Гріх ² (x) + Cos ² (x) = 1

Обидва члени діляться на Sen ² (x), а знаменник розподіляється на перший член:

Гріх ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Це спрощено:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) - це (не-піфагорейська) тотожність, що підтверджується самим визначенням тригонометричних співвідношень. Те саме відбувається з такою ідентичністю: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Нарешті, ви повинні:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Список літератури

1. Бальдор Дж. (1973). Плоска та космічна геометрія із вступом до тригонометрії. Центральноамериканська культурна. Змінного струму
2. CEA (2003). Елементи геометрії: з вправами та геометрією циркуля. Університет Медельїна.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Математика 2. Групова редакційна патрія.
4. ІГЕР. (sf). Математика Перший семестр Tacaná. ІГЕР.
5. Молодша геометрія (2014). Полігони. Lulu Press, Inc.
6. Міллер, Херен та Хорнсбі. (2006). Математика: міркування та програми (десяте видання). Пірсон освіта.
7. Патіньо, М. (2006). Математика 5. Редакційний прогрес.
8. Вікіпедія. Тригонометричні тотожності та формули. Відновлено з: es.wikipedia.com