Лінійна інтерполяція є метод , який бере початок загального Ньютона інтерполяції та апроксимації для визначення з невідомої величини , яка знаходиться між двома заданими числами; тобто знайдено проміжне значення. Він також застосовується для наближених функцій, де відомі значення f (a) і f (b) , і ми хочемо знати проміжне з f (x) .
Існують різні типи інтерполяції, такі як лінійна, квадратична, кубічна та вищих ступенів, найпростішим є лінійне наближення. Ціна, яку потрібно заплатити за допомогою лінійної інтерполяції, полягає в тому, що результат буде не таким точним, як при наближенні з використанням функцій вищих ступенів.
Визначення
Лінійна інтерполяція - це процес, який дозволяє вивести значення між двома чітко визначеними значеннями, які можуть бути в таблиці або в лінійному графіку.
Наприклад, якщо ви знаєте, що 3 літри молока коштують 4 долари і 5 літрів коштують 7 доларів, але ви хочете знати, яке значення має 4 літри молока, ви інтерполюєте, щоб визначити це проміжне значення.
Метод
Для оцінки проміжного значення функції функція f (x) наближається за допомогою лінії r (x) , що означає, що функція лінійно змінюється на «x» для розділів «x = a» і «x = б "; тобто для значення "x" в інтервалі (x 0 , x 1 ) та (y 0 , y 1 ) значення "y" задається лінією між точками і виражається наступним співвідношенням:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Щоб інтерполяція була лінійною, поліном інтерполяції повинен бути першого ступеня (n = 1), щоб він відповідав значенням x 0 і x 1.
Лінійна інтерполяція заснована на схожості трикутників таким чином, що, виходячи з геометричного попереднього виразу, можна отримати значення "y", яке представляє невідоме значення для "x".
Таким чином, ви повинні:
a = tan Ɵ = (протилежна нога 1 ÷ сусідня нога 1 ) = (протилежна нога 2 ÷ сусідня нога 2 )
Виражений іншим способом, це:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Розв'язуючи «і» з виразів, ми маємо:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Таким чином, отримується загальне рівняння для лінійної інтерполяції:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Взагалі лінійна інтерполяція дає невелику помилку щодо реального значення справжньої функції, хоча помилка мінімальна порівняно з тим, якщо ви інтуїтивно вибираєте число, близьке до того, яке ви хочете знайти.
Ця помилка виникає при спробі наближення значення кривої прямою лінією; У цих випадках розмір інтервалу повинен бути зменшений, щоб зробити наближення більш точним.
Для кращих результатів щодо наближення доцільно використовувати функції ступеня 2, 3 або навіть вищих ступенів для виконання інтерполяції. Для цих випадків теорема Тейлора є дуже корисним інструментом.
Розв’язані вправи
Вправа 1
Кількість бактерій на одиницю об'єму, що існують в інкубації через х годин, представлена в наступній таблиці. Ви хочете знати, який об’єм бактерій за час 3,5 години.
Рішення
Довідкова таблиця не встановлює значення, яке вказує на кількість бактерій за час 3,5 години, але у неї є верхні та нижні значення, що відповідають часу 3 та 4 години відповідно. Цей шлях:
x 0 = 3 і 0 = 91
х = 3,5 у =?
х 1 = 4 і 1 = 135
Тепер для знаходження інтерпольованого значення застосовується математичне рівняння, яке полягає в наступному:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Потім відповідні значення підміняються:
у = 91 + (135 - 91) *
у = 91 + (44) *
у = 91 + 44 * 0,5
у = 113.
Таким чином, виходить, що за час 3,5 годин кількість бактерій становить 113, що являє собою проміжний рівень між обсягом бактерій, що існували в часи 3 і 4 години.
Вправа 2
У Луїса є фабрика морозива, і він хоче зробити дослідження, щоб визначити дохід, який він мав у серпні, виходячи з зроблених витрат. Адміністратор компанії складає графік, який виражає це співвідношення, але Луїс хоче знати:
Який дохід за серпень, якщо були здійснені витрати в розмірі 55 000 доларів?
Рішення
Наводиться графік зі значеннями доходів і витрат. Луїс хоче знати, який дохід за серпень, якщо фабрика мала витрати в 55 000 доларів. Це значення не відображається безпосередньо на графіку, але значення вищі та нижчі за це.
Спочатку складається таблиця, де легко співвідносити значення:
Тепер формула інтерполяції використовується для визначення таким чином значення y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Потім відповідні значення підміняються:
у = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
у = 56 000 + (22 000) *
у = 56 000 + (22 000) * (0,588)
у = 56 000 + 12 936
у = 68 936 дол.
Якщо в серпні було проведено витрати в розмірі 55 000 доларів, дохід склав 68 936 доларів.
Список літератури
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
- Гарпе, П. д. (2000). Теми з геометричної теорії груп. Університет Чикаго Прес.
- Hazewinkel, M. (2001). Лінійна інтерполяція », Енциклопедія математики.
- , JM (1998). Елементи чисельних методів для інженерії. UASLP.
- , Е. (2002). Хронологія інтерполяції: від античної астрономії до сучасної обробки сигналів та зображень. Праці IEEE.
- числовий, І. а. (2006). Ксав'є Томас, Жорді Куадрос, Лусініо Гонсалес.