РЕАЛЬНІ ЧИСЛА: ІСТОРІЯ, ПРИКЛАДИ, ВЛАСТИВОСТІ, ОПЕРАЦІЇ - МАТЕМАТИКА - 2024

У дійсних числах є числовий набір , який включає в себе натуральні числа, цілих числа, раціональні та ірраціональні. Вони позначаються символом ℝ або просто R, а сфера їх застосування в науці, техніці та економіці така, що якщо говорити про “число”, то це майже зрозуміло, що це дійсне число.

Реальні цифри використовувались з давніх часів, хоча їм не дали такої назви. Вже з часу, коли Піфагор розробив свою знамениту теорему, виникли числа, які не можна було отримати як частники натуральних чисел чи цілих чисел.

Рисунок 1. Діаграма Венна, що показує, як множина дійсних чисел містить інші набори чисел. Джерело> Вікісховище.

Прикладами чисел є √2, √3 і π. Ці числа називаються ірраціональними, на відміну від раціональних чисел, які походять від коефіцієнтів цілих чисел. Тому був необхідний числовий набір, який охоплює обидва класи чисел.

Термін "дійсне число" був створений великим математиком Рене Декарт (1596-1650), щоб розрізнити два види коренів, які можуть виникнути при розв’язанні поліноміального рівняння.

Деякі з цих коренів можуть бути навіть корінням від'ємних чисел, Декарт називав ці "уявні числа", а ті, що їх не було, - справжніми числами.

Номінал зберігався з часом, даючи дві великі числові множини: дійсні числа та складні числа, більший набір, що включає реальні числа, уявні числа та ті, які є частиною реальними та частиною уявними.

Еволюція реальних чисел продовжувала свій шлях, поки в 1872 році математик Річард Дедекінд (1831-1936) формально не визначив набір дійсних чисел через так звані дедекіндські розрізи. Синтез його творчості був опублікований у статті, яка побачила світ того ж року.

Приклади реальних чисел

У таблиці нижче наведені приклади реальних чисел. Цей набір має як підмножини натуральних чисел, цілих чисел, раціональних та ірраціональних. Будь-яка кількість цих множин сама по собі є реальним числом.

Тому 0, негативні, позитивні, дроби та десяткові знаки - це дійсні числа.

Малюнок 2. Прикладами дійсних чисел є природні, цілі, раціональні, ірраціональні та трансцендентні. Джерело: Ф. Сапата.

Представлення дійсних чисел на реальній прямій

Реальні числа можуть бути представлені на реальній лінії R , як показано на малюнку. Не обов’язково, щоб 0 завжди був присутній, однак зручно знати, що негативні цифри - зліва, а позитивні - праворуч. Ось чому це відмінна орієнтир.

На реальній прямій проводиться шкала, в якій знаходять цілі числа:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Стрілка вказує, що лінія поширюється на нескінченність. Але це ще не все, у будь-якому розглянутому інтервалі ми також завжди знаходимо нескінченні реальні числа.

Реальні числа представлені в порядку. Для початку, є порядок цілих чисел, в яких позитивів завжди більше 0, а негативів менше.

Цей порядок зберігається в реальній кількості. Наступні нерівності показані як приклад:

а) -1/2 <√2

б) е <π

в) π> -1/2

Малюнок 3.- Реальна лінія. Джерело: Wikimedia Commons.

Властивості дійсних чисел

-Реальні числа включають натуральні числа, цілі числа, раціональні числа та нераціональні числа.

-Виконана комутативна властивість додавання: порядок доповнень не змінює суму. Якщо a і b - це два дійсних числа, завжди вірно, що:

a + b = b + a

-0 0 - нейтральний елемент суми: a + 0 = a

-За сумою виконується асоціативна властивість. Якщо a, b і c - дійсні числа: (a + b) + c = a + (b + c).

-Протилежність дійсного числа дорівнює -a.

-Віднімання визначається як сума протилежного: a - b = a + (-b).

-Виконана комутативна властивість товару: порядок факторів не змінює добуток: ab = ba

-У творі також застосовується асоціативна властивість: (ab) .c = a. (Bc)

-1 є нейтральним елементом множення: a.1 = a

-Размерна властивість множення дійсна щодо додавання: a. (b + c) = ab + ac

-Поділення на 0 не визначено.

-Усяке дійсне число a, крім 0, має мультиплікативний зворотний ^-1 такий, що aa ^-1 = 1.

-Якщо справжнє число: a ⁰ = 1 і a ¹ = a.

-Абсолютне значення або модуль дійсного числа - це відстань між згаданим числом і 0.

Операції з реальними числами

За допомогою реальних чисел ви можете виконувати операції, які виконуються з іншими числовими наборами, включаючи додавання, віднімання, множення, ділення, розширення можливостей, радикацію, логарифми тощо.

Як завжди, ділення на 0 не визначено, також не логарифми від'ємних чисел і 0, хоча правда, що log 1 = 0 і що логарифми чисел між 0 і 1 є від'ємними.

Програми

Застосування реальних цифр у будь-яких ситуаціях надзвичайно різноманітні. Реальні цифри з'являються як відповідь на багато проблем точної науки, інформатики, техніки, економіки та соціальних наук.

Всі види величин і величин, такі як відстань, час, сили, інтенсивність звуку, гроші та багато іншого, мають своє вираження в реальній кількості.

Передача телефонних сигналів, зображення та звуку відео, температури кондиціонера, обігрівача чи холодильника можна керувати цифровим шляхом, що означає перетворення фізичних величин у числові послідовності.

Те ж саме відбувається при здійсненні банківської операції через Інтернет або консультування миттєвих повідомлень. Реальні цифри є скрізь.

Вправа вирішена

Ми будемо бачити за допомогою вправ, як ці числа працюють у загальних ситуаціях, з якими ми стикаємося щодня.

Вправа 1

Поштове відділення приймає лише пакети, довжина яких, плюс вимірювання обхвату, не перевищує 108 дюймів. Тому, щоб відображений пакет був прийнятий, необхідно виконати, що:

L + 2 (x + y) ≤ 108

а) Чи зробить пакет шириною 6 дюймів, висотою 8 дюймів і довжиною 5 футів?

б) А як щодо тієї, яка вимірює 2 х 2 х 4 фути ³ ?

c) Яка найвища прийнятна висота для упаковки, основа якої квадратна, а розміри 9 х 9 дюймів ² ?

Відповідь на

L = 5 футів = 60 дюймів

х = 6 дюймів

y = 8 дюймів

Операція, яку потрібно вирішити:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) дюймів = 60 + 2 x 14 дюймів = 60 + 28 дюймів = 88 дюймів

Пакет приймається.

Відповідь b

Розміри цього пакету менші, ніж пакети a), тому вони обидва проробляють його наскрізь.

Відповідь c

У цьому пакеті:

х = L = 9 дюймів

Слід зазначити, що:

9+ 2 (9 + у) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

і ≤ 40,5 дюйма

Список літератури

1. Карена, М. 2019. Доуніверситетський посібник з математики. Національний університет Літоралу.
2. Дієго, А. Реальні числа та їх властивості. Відновлено з: matematica.uns.edu.ar.
3. Фігера, Ж. 2000. Математика 9. Ступінь. Видання CO-BO
4. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Математика для числення. 5-й. Видання. Cengage Learning.