НЕСКІНЧЕННИЙ НАБІР: ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Нескінченна множина - це та множина, в якій кількість її елементів незліченна. Тобто, якою б великою не була кількість її елементів, завжди можна знайти більше.

Найбільш поширеним прикладом є безліч натуральних чисел N . Не має значення, яка велика кількість, оскільки ви завжди можете отримати більшу кількість у процесі, який не має кінця:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Малюнок 1. Символ нескінченності. (піксабай)

Набір зірок у Всесвіті, безумовно, величезний, але точно невідомо, чи є він кінцевим чи нескінченним. На відміну від кількості планет у Сонячній системі, яка, як відомо, є кінцевим набором.

Властивості нескінченного безлічі

Серед властивостей нескінченних множин можна виділити наступні:

1- Об'єднання двох нескінченних множин породжує нову нескінченну множину.

2- Об'єднання кінцевої множини з нескінченним породжує нове нескінченне безліч.

3- Якщо підмножина даного набору нескінченна, то і вихідний набір також нескінченний. Зворотне твердження не відповідає дійсності.

Ви не можете знайти натуральне число, здатне виражати кардинальність або кількість елементів нескінченного набору. Однак німецький математик Георг Кантор ввів поняття безмежного числа для позначення нескінченної порядкової величини, що перевищує будь-яке натуральне число.

Приклади

Природний N

Найчастішим прикладом нескінченного набору є натуральні числа. Натуральні числа - це ті, які використовуються для підрахунку, проте цілі числа, які можуть існувати, не підлягають незліченню.

Множина натуральних чисел не включає нуль і зазвичай позначається як множина N , яка в розширеній формі виражається так:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} І явно нескінченна множина.

Еліпсис використовується для позначення того, що після одного числа слідує інше, а потім інше в нескінченному або нескінченному процесі.

Набір натуральних чисел, об'єднаних із множиною, що містить число нуль (0), відомий як безліч N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….} Що є результатом з'єднання нескінченної кількості N з кінцевим безліччю O = {0}, в результаті нескінченної кількості Н + .

Цілі числа Z

Множина цілих чисел Z складається з натуральних чисел, натуральних чисел з від’ємним знаком і нулем.

Цілі числа Z вважаються еволюцією відносно натуральних чисел N, використовуваних спочатку та примітивно в процесі підрахунку.

У числовому наборі Z цілих чисел нуль включено для того, щоб рахувати чи рахувати нічого, а від’ємні числа підрахувати вилучення, втрату чи відсутність чогось.

Для ілюстрації ідеї, припустимо, на рахунку в банку з’являється від’ємне сальдо. Це означає, що обліковий запис нижче нуля, і справа не лише в тому, що обліковий запис порожній, але й у тому, що він відсутній або негативний, але його якось потрібно замінити банку.

У широкій формі нескінченна множина Z цілих чисел пишеться так:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Раціонали Q

У процесі еволюції процесу підрахунку та обміну речами, товарами чи послугами з'являються дробові чи раціональні числа.

Наприклад, при обміні половини батона з двома яблуками під час запису транзакції комусь прийшло в голову, що половину потрібно записати як одну, розділену або розділену на дві частини: ½. Але половина половини хліба буде записана у книги так: ½ / ½ = ¼.

Зрозуміло, що цей процес поділу теоретично може бути нескінченним, хоча на практиці це до досягнення останньої частинки хліба.

Набір раціональних (або дробових) чисел позначається так:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Еліпсис між двома цілими числами означає, що між цими двома числами або значеннями є нескінченні розділи або поділи. Ось чому, як кажуть, безліч раціональних чисел є нескінченно щільним. Це тому, що якими б близькими не були два раціональних числа один до одного, можна знайти нескінченні значення.

Щоб проілюструвати вищесказане, припустимо, що нам пропонують знайти раціональне число між 2 і 3. Це число може бути 2⅓, що називається змішаним числом, що складається з 2 цілих частин плюс третини одиниці, тобто рівнозначно написанню 4/3.

Між 2 і 2⅓ можна знайти інше значення, наприклад 2⅙. А між 2 і 2⅙ можна знайти інше значення, наприклад 2⅛. Між цими двома іншими, а між ними ще одним, іншим та іншим.

Малюнок 2. Нескінченні поділки на раціональні числа. (wikimedia commons)

Ірраціональні числа I

Є числа, які не можна записати як ділення або дріб двох цілих чисел. Саме цей числовий набір відомий як множина I ірраціональних чисел, а також це нескінченна множина.

Деякі помітні елементи або представники цього числового набору - це число pi (π), число Ейлера (e), золоте співвідношення або золоте число (φ). Ці числа можна записати лише приблизно раціональним числом:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (і продовжує нескінченність і далі…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (і продовжується поза нескінченності…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (до нескінченності… ..і далі… ..)

Інші ірраціональні числа з'являються при спробі знайти рішення дуже простих рівнянь, наприклад рівняння X ^ 2 = 2 не має точного раціонального рішення. Точне рішення виражається такою символікою: X = √2, яку читають x, рівну кореню двох. Приблизний раціональний (або десятковий) вираз для √2:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Існує незліченна кількість ірраціональних чисел √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖), щоб назвати декілька.

Набір реал R

Реальні числа - це число, яке найчастіше використовується в математичному обчисленні, фізиці та техніці. Цей набір чисел є об'єднанням раціональних чисел Q та ірраціональних чисел I :

R = Q U I

Нескінченність більша, ніж нескінченність

Серед нескінченних множин деякі більше, ніж інші. Наприклад, безліч натуральних чисел N є нескінченним , але є підмножина цілих чисел Z , який є нескінченним, тому безліч Z більше , ніж безліч N .

Точно так само безліч цілих чисел Z є підмножиною дійсних чисел R , і , отже , безліч R є «нескінченності» безліч Z .

Список літератури

1. Celeberrima. Приклади нескінченних множин. Відновлено з: celeberrima.com
2. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТ. Вступ до обчислення. Lulu.com.
3. Гаро, М. (2014). Математика: квадратичні рівняння: Як розв’язати квадратичне рівняння. Марілù Гаро.
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика для менеджменту та економіки. Пірсон освіта.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Поріг.
6. Preciado, CT (2005). Курс математики 3-й. Редакція Progreso.
7. Рок, НМ (2006). Алгебра я проста! Так легко. Team Rock Press.
8. Салліван, Дж. (2006). Алгебра та тригонометрія. Пірсон освіта.
9. Вікіпедія. Нескінченний набір. Відновлено з: es.wikipedia.com