БІНОМІАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ: ПОНЯТТЯ, РІВНЯННЯ, ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИКЛАДИ - ДУДИ - 2025

Біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей , з допомогою якого ймовірність настання події обчислюється, при умови , що вони виникають при двох умовах: успіх чи невдачу.

Ці позначення (успіх чи невдача) є абсолютно довільними, оскільки не обов'язково означають добрі чи погані речі. Під час цієї статті ми вкажемо математичну форму розподілу біномів, а потім докладно пояснимо значення кожного терміна.

Малюнок 1. Рулон штампів - явище, яке можна змоделювати за допомогою біноміального розподілу. Джерело: Pixabay.

Рівняння

Рівняння таке:

З x = 0, 1, 2, 3… .n, де:

- P (x) - ймовірність досягнення точно x успіхів між n спробами чи випробуваннями.

- x - змінна, яка описує явище, що цікавить, що відповідає кількості успіхів.

- n кількість спроб

- р - ймовірність успіху за 1 спробу

- q - ймовірність відмови за 1 спробу, тому q = 1 - p

Знак оклику "!" використовується для позначення факторії, так що:

0! = 1

один! = 1

два! = 2,1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

І так далі.

Концепція

Біноміальний розподіл дуже підходить для опису ситуацій, в яких подія відбувається або не відбувається. Якщо це відбувається - це успіх, а якщо ні, то це невдача. Крім того, вірогідність успіху завжди повинна залишатися незмінною.

Є явища, які відповідають цим умовам, наприклад, кидання монети. У цьому випадку можна сказати, що «успіх» - це набуття обличчя. Ймовірність дорівнює ½ і не змінюється, незалежно від того, скільки разів монету кидали.

Рулон чесного штампу - ще один хороший приклад, а також класифікація певного виробництва на хороші шматки та дефектні шматки та отримання червоного замість чорного при обертанні колеса рулетки.

характеристики

Ми можемо узагальнити характеристики біноміального розподілу наступним чином:

- Будь-яка подія чи спостереження витягується з нескінченної сукупності без заміни або з кінцевої сукупності із заміною.

- Розглядаються лише два варіанти, взаємовиключні: успіх чи невдача, як було пояснено на початку.

- Імовірність успіху повинна бути постійною в будь-яких спостереженнях, які зроблені.

- Результат будь-якої події не залежить від будь-якої іншої події.

- Середнє значення біноміального розподілу - np

- Стандартне відхилення:

Приклад застосування

Візьмемо просту подію, яка може отримати 2 голови 5, перекинувши чесну штамп 3 рази. Яка ймовірність того, що за 3 кидки отримають 2 голови з 5?

Наприклад, є кілька способів цього досягти:

- Перші два пуски - 5, а останній - ні.

- Перший і останній - 5, але не середній.

- Останні два кидки - 5, а перший - ні.

Візьмемо першу послідовність, описану як приклад, та обчислимо її ймовірність виникнення. Ймовірність отримати 5 головок на першому рулоні становить 1/6, а також на другому, оскільки це незалежні події.

Ймовірність отримати іншу голову, крім 5, на останньому рулоні - 1 - 1/6 = 5/6. Тому ймовірність того, що ця послідовність вийде є добутком ймовірностей:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023

А як щодо двох інших послідовностей? Вони мають однакову ймовірність: 0,023.

А оскільки у нас є 3 успішні послідовності, то загальна ймовірність буде:

Приклад 2

В одному з університетів стверджується, що 80% студентів колективу з баскетболу коледжу закінчують. Розслідування вивчає академічний облік 20 студентів, які належать до зазначеної команди з баскетболу, які записалися в університет деякий час тому.

З цих 20 студентів 11 закінчили навчання, а 9 відмовились.

Малюнок 2. Практично всі студенти, які грають за команду коледжу, закінчують навчання. Джерело: Pixabay.

Якщо твердження університету вірно, кількість студентів, які грають у баскетбол та випускників, із 20 має мати біноміальне розподіл з n = 20 та p = 0,8. Яка ймовірність того, що рівно 11 із 20 гравців закінчать?

Рішення

У двочленному розподілі:

Приклад 3

Дослідники провели дослідження, щоб визначити, чи існували суттєві відмінності в показниках закінчення випускників між студентами-медиками, які приймаються за спеціальними програмами, та студентами-медиками, які приймаються за регулярними критеріями прийому.

Виявлено, що рівень випускників становив 94% для студентів-медиків, які приймаються за спеціальними програмами (на основі даних Журналу Американської медичної асоціації).

Якщо 10 зі спеціальних програм студенти обрані випадковим чином, знайдіть ймовірність того, що принаймні 9 з них закінчили.

б) Чи незвично було б випадково відібрати 10 студентів із спеціальних програм і виявити, що лише 7 із них закінчили?

Рішення

Ймовірність того, що студент, прийнятий за спеціальною програмою, закінчить навчання, становить 94/100 = 0,94. Ми вибираємо n = 10 студентів зі спеціальних програм і хочемо з’ясувати ймовірність того, що принаймні 9 із них закінчать.

Наступні значення замінюються в біноміальному розподілі:

б)

Список літератури

1. Беренсон, М. 1985. Статистика для менеджменту та економіки. Interamericana SA
2. MathWorks. Біноміальний розподіл. Відновлено з: es.mathworks.com
3. Mendenhall, W. 1981. Статистика для менеджменту та економіки. 3-й. видання. Grupo Редакція Iberoamérica.
4. Мур, Д. 2005. Прикладна основна статистика. 2-й. Видання.
5. Тріола, М. 2012. Елементарна статистика. 11-й. Освіта за ред. Пірсона.
6. Вікіпедія. Біноміальний розподіл. Відновлено з: es.wikipedia.org