Градієнт потенціалу являє собою вектор , який представляє собою швидкість зміни електричного потенціалу по відношенню до відстані на кожній осі системи декартових координат. Таким чином, вектор градієнта потенціалу вказує напрямок, в якому швидкість зміни електричного потенціалу більша, як функція відстані.
У свою чергу, модуль градієнта потенціалу відображає швидкість зміни коливання електричного потенціалу в певному напрямку. Якщо значення цього відомо в кожній точці просторової області, то електричне поле можна отримати з градієнта потенціалу.
Електричне поле визначається як вектор, при цьому воно має певний напрямок і величину. Визначаючи напрямок, в якому електричний потенціал зменшується найшвидше - далеко від опорної точки - і ділимо це значення на пройдену відстань, отримують величину електричного поля.
характеристики
Градієнт потенціалу - це вектор, обмежений конкретними просторовими координатами, який вимірює співвідношення зміни між електричним потенціалом та відстані, пройденою вказаним потенціалом.
Нижче викладені найбільш видатні характеристики градієнта електричного потенціалу:
1- Потенційний градієнт - вектор. Отже, вона має конкретну величину та напрямок.
2- Оскільки градієнт потенціалу є вектором у просторі, він має величини, спрямовані на осі X (ширина), Y (висота) та Z (глибина), якщо декартову систему координат брати за орієнтир.
3- Цей вектор перпендикулярний поверхні еквіпотенціалу в точці, де оцінюється електричний потенціал.
4- Вектор градієнта потенціалу спрямований у напрямку максимальної зміни функції електричного потенціалу в будь-якій точці.
5- Модуль градієнта потенціалу дорівнює похідній функції електричного потенціалу щодо відстані, пройденої у напрямку кожної з осей декартової системи координат.
6- Потенційний градієнт має нульове значення в стаціонарних точках (максимуми, мінімум і точки сідла).
7- У міжнародній системі одиниць (СІ) одиницями вимірювання потенційного градієнта є вольт / метр.
8- Напрямок електричного поля такий самий, коли електричний потенціал швидше зменшує свою величину. У свою чергу, потенційний градієнт вказує у напрямку, в якому потенціал збільшується у величині відносно зміни положення. Отже, електричне поле має однакове значення градієнта потенціалу, але з протилежним знаком.
Як його обчислити?
Різниця електричного потенціалу між двома точками (точка 1 і точка 2) задається наступним виразом:
Де:
V1: електричний потенціал у точці 1.
V2: електричний потенціал у точці 2.
E: величина електричного поля.
Ѳ: кут нахилу вимірюваного вектора електричного поля по відношенню до системи координат.
Висловлюючи цю формулу диференційовано, наступне:
Коефіцієнт E * cos (Ѳ) відноситься до модуля компонента електричного поля в напрямку dl. Нехай L - горизонтальна вісь опорної площини, тоді cos (Ѳ) = 1, як це:
Надалі коефіцієнт між варіацією електричного потенціалу (dV) та варіацією пройденої відстані (ds) є модулем градієнта потенціалу для зазначеної складової.
Звідси випливає, що величина градієнта електричного потенціалу дорівнює складовій електричного поля в напрямку дослідження, але з протилежним знаком.
Однак оскільки реальне середовище тривимірне, градієнт потенціалу в заданій точці повинен бути виражений як сума трьох просторових компонентів на осях X, Y і Z декартової системи.
Розбивши вектор електричного поля на три його прямокутні компоненти, ми маємо наступне:
Якщо в площині є область, в якій електричний потенціал має однакове значення, часткова похідна цього параметра щодо кожної декартової координати буде дорівнює нулю.
Таким чином, у точках, що знаходяться на рівнопотенційних поверхнях, напруженість електричного поля матиме нульову величину.
Нарешті, потенційний вектор градієнта може бути визначений як точно такий же вектор електричного поля (за величиною), з протилежним знаком. Таким чином, ми маємо наступне:
Приклад
З попередніх розрахунків необхідно:
Однак перед тим, як визначити електричне поле як функцію градієнта потенціалу, або навпаки, спочатку слід визначити, в якому напрямку зростає різниця електричних потенціалів.
Після цього визначається коефіцієнт зміни електричного потенціалу та коливання пройденої чистої відстані.
Таким чином виходить величина пов'язаного електричного поля, яка дорівнює величині градієнта потенціалу в цій координаті.
Вправа
Є дві паралельні пластини, як це відображено на наступному малюнку.
Крок 1
Напрямок зростання електричного поля визначається на декартовій системі координат.
Електричне поле зростає лише в горизонтальному напрямку, враховуючи розташування паралельних пластин. Отже, можливо зробити висновок, що компоненти градієнта потенціалу на осі Y та осі Z дорівнюють нулю.
Крок 2
Дані, що цікавлять, дискримінуються.
- різниця потенціалів: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 В.
- Різниця у відстані: dx = 10 сантиметрів.
З метою гарантування узгодженості одиниць вимірювання, що використовуються відповідно до Міжнародної системи одиниць, величини, які не виражені в СІ, повинні бути перетворені відповідно. Таким чином, 10 сантиметрів дорівнює 0,1 метра, і нарешті: dx = 0,1 м.
Крок 3
Обчисліть величину потенційного вектора градієнта відповідно.
Список літератури
- Електрика (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Лондон, Великобританія. Відновлено: britannica.com
- Потенційний градієнт (sf). Національний автономний університет Мексики. Мексика DF, Мексика. Відновлено: професори.dcb.unam.mx
- Електрична взаємодія. Відновлено з: matematicasypoesia.com.es
- Потенційний градієнт (sf). Відновлено з: circuitglobe.com
- Зв'язок між потенційним та електричним полем (sf). Технологічний інститут Коста-Ріки. Картаго, Коста-Ріка. Відновлено з: repositoriotec.tec.ac.cr
- Вікіпедія, Вільна енциклопедія (2018). Градієнт. Відновлено з: es.wikipedia.org