САМОСТІЙНІ ПОДІЇ: ДЕМОНСТРАЦІЯ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - ДУДИ - 2025

Дві події є незалежними , коли на ймовірність того, що одна з них відбудеться, не впливає той факт, що інша відбувається - або не відбувається - враховуючи, що ці події відбуваються випадковим чином.

Ця обставина виникає всякий раз, коли процес, що генерує результат події 1, жодним чином не змінює ймовірність можливих результатів події 2. Але якщо цього не відбувається, події, як кажуть, залежні.

Малюнок 1. Кольоровий мармур часто використовується для пояснення ймовірності незалежних подій. Джерело: Pixabay.

Ситуація незалежної події така: припустимо, два кості з шестисторонніми рулонами, одна синя, а друга рожева. Імовірність того, що 1 перекинеться на блакитну матрицю, не залежить від ймовірності того, що 1 буде котитися - або не котиться - на рожевий штамб.

Ще один випадок двох незалежних подій - це кидання монети два рази поспіль. Результат першого кидка не залежатиме від результату другого і навпаки.

Доказ двох незалежних подій

Щоб перевірити, що дві події є незалежними, ми визначимо поняття умовної ймовірності однієї події відносно іншої. Для цього необхідно розмежувати ексклюзивні події та інклюзивні події:

Дві події є виключними, якщо можливі значення або елементи події А не мають нічого спільного зі значеннями або елементами події В.

Тому в двох ексклюзивних подіях множиною перетину А з В є вакуум:

Виключення подій: A∩B = Ø

Навпаки, якщо події є всеохоплюючими, може статися, що результат події A також збігається з результатом іншого B, причому A і B є різними подіями. В цьому випадку:

Інклюзивні події: A∩B ≠ Ø

Це приводить нас до визначення умовної ймовірності двох інклюзивних подій, іншими словами, ймовірності настання події A, щоразу, коли подія B відбувається:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Отже, умовна ймовірність - це ймовірність того, що відбудуться A і B, поділена на ймовірність виникнення B. Також можна визначити ймовірність того, що B відбудеться умовно на A.

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Критерії знати, чи є дві події незалежними

Далі ми дамо три критерії, щоб знати, чи є дві події незалежними. Досить одного з трьох виконати, щоб продемонструвати незалежність подій.

1.- Якщо ймовірність того, що A виникає, коли виникає B, дорівнює ймовірності A, то це незалежні події:

P (A¦B) = P (A) => A не залежить від B

2.- Якщо ймовірність того, що B трапляється дано A, дорівнює ймовірності B, то існують незалежні події:

P (B¦A) = P (B) => B незалежно від A

3.- Якщо ймовірність виникнення A і B дорівнює добутку ймовірності того, що A виникає, та ймовірності виникнення B, то вони є незалежними подіями. Зворотна також правда.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A і B - незалежні події.

Приклади самостійних подій

Порівнюються гумові підошви двох виробників. Зразки кожного виробника проходять декілька випробувань, з яких робиться висновок про те, чи є вони в межах специфікацій.

Малюнок 2. Різноманітність гумової підошви. Джерело: Pixabay.

Отриманий підсумок 252 зразків виглядає наступним чином:

Виробник 1; 160 відповідають технічним умовам; 8 не відповідають технічним умовам.

Виробник 2; 80 відповідають технічним умовам; 4 не відповідають технічним умовам.

Подія A: "що зразок від виробника 1".

Подія B: "що зразок відповідає технічним умовам."

Ми хочемо знати, чи є ці події А і В незалежними чи ні, до яких ми застосовуємо один із трьох критеріїв, згаданих у попередньому розділі.

Критерій: P (B¦A) = P (B) => B не залежить від A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Висновок: події А та В незалежні.

Припустимо, подія C: "що зразок походить від виробника 2"

Чи буде подія B незалежною від події C?

Ми застосовуємо один із критеріїв.

Критерій: P (B¦C) = P (B) => B не залежить від C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Тому, виходячи з наявних даних, ймовірність того, що випадково вибрана гумова підошва відповідає технічним умовам, не залежить від виробника.

Перетворіть незалежну подію на залежну подію

Давайте розглянемо наступний приклад, щоб розрізняти залежні та незалежні події.

У нас є сумка з двома кулями білого шоколаду та двома чорними кулями. Імовірність отримання білого або чорного кулі дорівнює при першій спробі.

Припустимо, результатом став бал з києм. Якщо намальований кульку замінити в мішку, початкова ситуація повторюється: дві білі кульки та дві чорні кульки.

Тож у другій події чи розіграші шанси намалювати київку або чорну кулю ідентичні першому разу. Тому вони є незалежними подіями.

Але якщо куля-кия, намальована в першій події, не буде замінена, тому що ми її з'їли, у другому розіграші є більші шанси намалювати чорну кулю. Ймовірність того, що друга екстракція знову отримає білий колір, відрізняється від першої події і обумовлюється попереднім результатом.

Вправи

- Вправа 1

У коробку кладемо 10 мармурів фігури 1, з яких 2 зелені, 4 - блакитні та 4 - білі. Два мармури будуть обрані навмання, один перший та один пізніше. Попрошується знайти
ймовірність того, що жоден із них не синій, за таких умов:

а) Із заміною, тобто поверненням першого мармуру перед другим виділенням до коробки. Вкажіть, незалежні вони чи залежні події.

б) Без заміни таким чином, що перший видобутий мармур залишається поза коробкою під час здійснення другого відбору. Аналогічно вкажіть, залежні вони чи незалежні події.

Рішення для

Ми обчислюємо ймовірність того, що перший видобутий мармур не є блакитним, що на 1 мінус ймовірності того, що він синій P (A), або безпосередньо, що він не синій, тому що він вийшов зеленим або білим:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (не синій) = 1 - (2/5) = 3/5

Добре:

P (зелений або білий) = 6/10 = 3/5.

Якщо видобутий мармур буде повернутий, все як і раніше. У цьому другому розіграші також є 3/5 ймовірність того, що намальований мармур не синій.

P (не синій, не синій) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Події є незалежними, оскільки видобутий мармур був повернутий у коробку, а перша подія не впливає на ймовірність появи другої.

Рішення b

Для першої видобування дійте так, як у попередньому розділі. Ймовірність того, що він не синій, становить 3/5.

Для другого видобутку у нас в мішку 9 мармурів, оскільки перший не повернувся, але він не був синім, тому в мішку 9 мармурів і 5 не синіх:

Р (зелений або білий) = 5/9.

P (жоден не синій) = P (спочатку не синій). P (другий не синій / перший не синій) = (3/5). (5/9) = 1/3

У цьому випадку вони не є самостійними подіями, оскільки перша подія обумовлює другу.

- Вправа 2

У магазині є 15 сорочок трьох розмірів: 3 маленьких, 6 середніх та 6 великих. 2 сорочки вибрані випадковим чином.

а) Яка ймовірність того, що обидві вибрані сорочки є невеликими, якщо одну брати першою та не замінювати іншу в партії?

б) Яка ймовірність того, що обидві вибрані сорочки невеликі, якщо одну намалюють першою, замінюють у партії, а другу видаляють?

Рішення для

Ось дві події:

Подія A: перша вибрана сорочка невелика

Подія В: друга вибрана сорочка невелика

Ймовірність того, що відбудеться подія A, така: P (A) = 3/15

Ймовірність того, що відбудеться подія B, така: P (B) = 2/14, оскільки сорочку вже зняли (залишилось 14), але також подія А хоче бути виконаною, перша сорочка знята повинна бути невеликою, а отже обидва - 2 маленькі.

Тобто ймовірність того, що A і B будуть добутком ймовірностей, є:

P (A і B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Отже, ймовірність того, що подія A і B відбудеться, дорівнює добутку, що відбудеться подія A, в рази більша від ймовірності того, що подія B відбудеться, якщо подія А.

Слід зазначити, що:

P (B¦A) = 2/14

Ймовірність того, що подія B відбудеться незалежно від того, відбудеться подія А чи ні, буде:

P (B) = (2/14), якщо перший був малим, або P (B) = 3/14, якщо перший не був малим.

Загалом можна зробити наступне:

P (B¦A) не дорівнює P (B) => B не залежить від A

Рішення b

Знову дві події:

Подія A: перша вибрана сорочка невелика

Подія В: друга вибрана сорочка невелика

P (A) = 3/15

Пам'ятайте, що незалежно від результату, сорочка, витягнута з партії, замінюється і знову сорочка малюється навмання. Ймовірність виникнення події B, якщо подія А сталася, така:

P (B¦A) = 3/15

Ймовірність того, що відбудуться події А і В, буде:

P (A і B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Зауважте, що:

P (B¦A) дорівнює P (B) => B незалежно від A.

- Вправа 3

Розглянемо дві незалежні події A і B. Відомо, що ймовірність виникнення події A дорівнює 0,2, а ймовірність виникнення події B - 0,3. Яка ймовірність того, що відбудуться обидві події?

Рішення 2

Знаючи, що події є незалежними, відомо, що ймовірність того, що відбудуться обидві події, є результатом індивідуальних ймовірностей. Тобто,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Зауважте, що ймовірність набагато менша, ніж ймовірність того, що кожна подія відбудеться незалежно від результату іншої. Або кажучи іншим способом, значно нижчим, ніж окремі шанси.

Список літератури

1. Беренсон, М. 1985. Статистика для менеджменту та економіки. Interamericana SA 126-127.
2. Монтеррейський інститут. Ймовірність самостійних подій. Відновлено з сайту: monterreyinstitute.org
3. Викладач математики. Самостійні події. Відновлено з: youtube.com
4. Суперпроф. Види подій, залежні події. Відновлено з: superprof.es
5. Віртуальний викладач. Ймовірність. Відновлено з: vitutor.net
6. Вікіпедія. Незалежність (вірогідність). Відновлено з: wikipedia.com