АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД: ХАРАКТЕРИСТИКИ, КРОКИ, ПРИКЛАДИ - КУЛЬТУРНА ЛЕКСИКА - 2025

Аксіоматичний метод або званий також Аксіоматичний формальна процедура використовується науками , за допомогою яких сформульовані заяв або пропозицій називаються аксіоми, з'єднаний один з одним з допомогою співвідношення вирахування і лежить в основі гіпотез або умовах певної системи.

Це загальне визначення має бути сформульоване в межах еволюції, що ця методологія мала протягом історії. По-перше, існує античний або змістовний метод, народжений у Стародавній Греції від Евкліда і пізніше розвинений Арістотелем.

По-друге, ще в 19 столітті поява геометрії з аксіомами відрізняється від Евкліда. І нарешті, формальний чи сучасний аксіоматичний метод, найбільшим показником якого був Девід Гільберт.

Поза межами свого розвитку, ця процедура стала основою дедуктивного методу, використовуючись в геометрії та логіці, де вона виникла. Він також використовувався у фізиці, хімії та біології.

І це навіть застосовується в рамках юридичної науки, соціології та політичної економії. Однак в даний час найважливішою сферою його застосування є математика та символічна логіка та деякі галузі фізики, такі як термодинаміка, механіка, серед інших дисциплін.

характеристики

Хоча основоположною характеристикою цього методу є формулювання аксіом, вони не завжди розглядалися однаково.

Є такі, які можна визначити і побудувати довільно. І інші, згідно з моделлю, в якій інтуїтивно розглядається її гарантована істина.

Щоб конкретно зрозуміти, в чому полягає ця різниця та її наслідки, необхідно пройти еволюцію цього методу.

Античний або змістовний аксіоматичний метод

Це той, що був створений в Стародавній Греції до V століття до н. Е. Його сферою застосування є геометрія. Фундаментальна робота цього етапу - Елементи Евкліда, хоча вважається, що перед ним Піфагор вже народив аксіоматичний метод.

Таким чином, греки приймають певні факти як аксіоми, не вимагаючи ніяких логічних доказів, тобто без необхідності доказування, оскільки для них вони є самоочевидною істиною.

Зі свого боку Евклід представляє п'ять аксіом для геометрії:

1-Дано два пункти є рядок, який містить або з'єднує їх.

2-Будь-який сегмент можна безперервно розширювати необмеженою лінією з обох сторін.

3-Ви можете намалювати коло, яке має центр у будь-якій точці та будь-якому радіусі.

4-Прямі кути всі однакові.

5 - Беручи будь-яку пряму і будь-яку точку, яка не знаходиться в ній, паралельна їй є пряма, яка містить цю точку. Пізніше ця аксіома відома як аксіома паралелей, а також її називають: одну точку паралелі можна провести з точки поза лінією.

Однак і Евклід, і пізніші математики сходяться на думці, що п'ята аксіома не така інтуїтивно зрозуміла, як інші 4. Ще в епоху Відродження робиться спроба вивести п'яту з інших 4, але це неможливо.

Це призвело до того, що вже в XIX столітті ті, хто підтримували п’ять, виступають за евклідову геометрію, а ті, хто заперечує п'яту, - це ті, хто створив неевклідову геометрію.

Неевклідовий аксіоматичний метод

Саме Микола Іванович Лобачевський, Янос Болай та Йоганн Карл Фрідріх Гаус бачать можливість побудови без суперечностей геометрії, що походить із систем аксіом, відмінних від Евкліда. Це руйнує віру в абсолютну істину або апріорі аксіом і теорій, що випливають з них.

Отже, аксіоми починають розглядатись як вихідні точки для даної теорії. Також і його вибір, і проблема його обґрунтованості в тому чи іншому сенсі починають пов'язуватись із фактами, що не входять до аксіоматичної теорії.

Таким чином з'являються геометричні, алгебраїчні та арифметичні теорії, побудовані за допомогою аксіоматичного методу.

Цей етап завершився створенням аксіоматичних систем для таких арифметичних, як Джузеппе Пеано в 1891 році; Геометрія Девіда Губерта в 1899 році; твердження та предикативні розрахунки Альфреда Норт Уайтхеда та Бертран Рассела в Англії в 1910 році; Аксіоматична теорія множин Ернста Фрідріха Фердинанда Цермело в 1908 році.

Сучасний або формальний аксіоматичний метод

Саме Девід Юбер ініціює концепцію формального аксіоматичного методу, що призводить до його кульмінації, Девід Гільберт.

Саме Гільберт формалізує наукову мову, розглядаючи її твердження як формули чи послідовності знаків, які самі по собі не мають значення. Вони набувають значення лише в певній інтерпретації.

У «Основах геометрії» він пояснює перший приклад цієї методології. З цього моменту геометрія стає наукою про чисті логічні наслідки, які витягуються із системи гіпотез чи аксіом, краще артикульованих, ніж евклідова система.

Це тому, що в античній системі аксіоматична теорія базується на свідченнях аксіом. Перебуваючи в основі формальної теорії, вона задається демонстрацією непоперечності її аксіом.

Кроки

Процедура, яка здійснює аксіоматичне структурування в наукових теоріях, визнає:

а-вибір певної кількості аксіом, тобто ряду пропозицій певної теорії, які приймаються без необхідності доказувати.

б - поняття, що входять до складу цих пропозицій, не визначаються в рамках даної теорії.

c-встановлені правила визначення та дедукції даної теорії і дозволяють вводити нові теорії всередині теорії та логічно виводити одні пропозиції з інших.

d - інші положення теорії, тобто теореми, виведені з a на основі с.

Приклади

Цей метод можна перевірити через доказ двох найвідоміших теорем Евкліда: теореми ніг і теореми висоти.

Обидва виникають із спостереження цього грецького геометра, що коли висота відносно гіпотенузи намічається в межах правого трикутника, з’являються ще два трикутники оригіналу. Ці трикутники схожі між собою і водночас схожі на трикутник походження. Це передбачає, що їх відповідні гомологічні сторони пропорційні.

Видно, що таким чином кути конгруентних трикутників підтверджують схожість між трьома трикутниками, які беруть участь у відповідності з критерієм подібності AAA. Цей критерій стверджує, що коли два трикутники мають однакові кути, вони схожі.

Після того, як буде показано, що трикутники схожі, можна встановити пропорції, зазначені в першій теоремі. Це ж твердження, що у правильному трикутнику міра кожної ноги - це середнє геометричне пропорційне значення між гіпотенузою та проекцією гомілки на неї.

Друга теорема - висота. Він вказує, що будь-який правий трикутник, висота якого намальована відповідно до гіпотенузи, є середньою геометричною пропорцією між сегментами, які визначаються згаданим геометричним середнім на гіпотенузі.

Звичайно, обидві теореми мають численні застосування у всьому світі не лише у навчанні, а й у техніці, фізиці, хімії та астрономії.

Список літератури

1. Джованніні, Едуардо Н. (2014) Геометрія, формалізм та інтуїція: Девід Гільберт та формальний аксіоматичний метод (1895-1905). Ревіста де Філософія, т. 39 № 2, стор.121-146. Взяті з журналів.ucm.es.
2. Гільберт, Девід. (1918) Аксіоматична думка. У У. Евальда, редактор, від Канта до Гільберта: книга-джерело в основі математики. Том II, стор 1105-1114. Oxford University Press. 2005 а.
3. Хінтіка, Яако. (2009). Що таке аксіоматичний метод? Синтез, листопад 2011 р., Том 189, стор.69-85. Взяті з link.springer.com.
4. Лопес Ернандес, Хосе. (2005). Вступ до сучасної філософії права. (стор.48-49). Взято з books.google.com.ar.
5. Ніренберг, Рікардо. (1996) Аксіоматичний метод, читання Рікардо Ніренберга, осінь 1996, університет в Олбані, проект «Відродження». Взято з Albany.edu.
6. Вентурі, Джорджіо. (2015) Гільберт між формальною та неофіційною стороною математики. Рукопис вип. 38 ні. 2, липень Кампінас / Август 2015. Взято з scielo.br.