МЕТОД ЕЙЛЕРА: ДЛЯ ЧОГО ЦЕ, ПРОЦЕДУРА ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Метод Ейлера - це найпростіші та найпростіші процедури, що застосовуються для пошуку чисельних розв’язків, наближених до звичайного диференціального рівняння першого порядку, за умови, що початкова умова відома.

Звичайне диференціальне рівняння (ODE) - це рівняння, яке пов'язує невідому функцію єдиної незалежної змінної з її похідними.

Послідовні наближення методом Ейлера. Джерело: Олег Олександров

Якщо найбільша похідна, що з’являється в рівнянні, має ступінь перший, то це звичайне диференціальне рівняння першого ступеня.

Найбільш загальним способом написання рівняння першого ступеня є:

x = x ₀

y = y ₀

Що таке метод Ейлера?

Ідея методу Ейлера полягає в пошуку чисельного рішення диференціального рівняння в інтервалі між X ₀ і X _f .

По-перше, інтервал дискретизується в n + 1 балах:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Які отримуються так:
x _i = x ₀ + ih

Де h - ширина або крок підінтервалів:

З початковою умовою, тоді також можна дізнатися похідну на початку:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Ця похідна представляє нахил дотичної лінії до кривої функції y (x) саме в точці:

Ao = (x _o , y _o )

Тоді приблизне прогнозування значення функції y (x) робиться в наступній точці:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Потім була отримана наступна приблизна точка рішення, яка відповідатиме:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Процедуру повторюють для отримання послідовних балів

A ₂ , A ₃ …, x _n

На малюнку, показаному на початку, синя крива являє собою точне рішення диференціального рівняння, а червона являє собою послідовні приблизні точки, отримані за процедурою Ейлера.

Розв’язані вправи

Вправа 1

I ) Нехай диференціальне рівняння буде:

При початковій умові х = а = 0; і _a = 1

Використовуючи метод Ейлера, отримайте приблизний розв’язок y за координатою X = b = 0,5, розділивши інтервал на n = 5 частин.

Рішення

Числові результати підсумовуються наступним чином:

Звідки робиться висновок, що рішення Y для значення 0,5 дорівнює 1,4481.

Примітка: Smath Studio, безкоштовна програма для безкоштовного використання, була використана для проведення розрахунків.

Вправа 2

II ) Продовжуючи диференціальне рівняння від вправи I), знайдіть точне рішення і порівняйте його з результатом, отриманим методом Ейлера. Знайдіть помилку або різницю між точним та приблизним результатом.

Рішення

Точне рішення знайти не дуже складно. Похідна функції sin (x), як відомо, є функцією cos (x). Тому рішення y (x) буде:

y (x) = sin x + C

Щоб початкова умова була виконана і (0) = 1, константа C повинна бути дорівнює 1. Точний результат порівнюється з приблизним:

Зроблено висновок, що в обчисленому інтервалі наближення має три значущі цифри точності.

Вправа 3

III ) Розглянемо диференціальне рівняння та його початкові умови, наведені нижче:

y '(x) = - y ²

При початковій умові х ₀ = 0; і ₀ = 1

Використовуйте метод Ейлера для пошуку приблизних значень рішення y (x) на проміжку x =. Використовуйте крок h = 0,1.

Рішення

Метод Ейлера дуже підходить для використання з електронною таблицею. У цьому випадку ми будемо використовувати електронну таблицю геогебри, безкоштовну програму з відкритим кодом.

У таблиці на малюнку показано три стовпці (A, B, C), перший - змінна x, другий стовпчик являє собою змінну y, а третій стовпчик - похідну y '.

Рядок 2 містить початкові значення X, Y, Y '.

Етап значення 0,1 розміщений у комірці абсолютного положення ($ D $ 4).

Початкове значення y0 знаходиться в комірці В2, а y1 - у комірці B3. Для обчислення y ₁ використовується формула:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Ця формула електронної таблиці буде числом B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Аналогічно y2 був би в комірці B4, і його формула показана на наступному малюнку:

На малюнку також показаний графік точного рішення та точки А, В,…, Р приблизного рішення за методом Ейлера.

Ньютонівська динаміка та метод Ейлера

Класичну динаміку розвинув Ісаак Ньютон (1643 - 1727). Первісна мотивація Леонарда Ейлера (1707 - 1783) розвивати його метод полягала саме в тому, щоб вирішити рівняння другого закону Ньютона в різних фізичних ситуаціях.

Другий закон Ньютона зазвичай виражається диференціальним рівнянням другого ступеня:

Де х являє собою положення об'єкта в момент часу t. Згаданий об'єкт має масу m і піддається силі F. Функція f пов'язана із силою та масою так:

Для застосування методу Ейлера потрібні початкові значення часу t, швидкості v та положення x.

Наступна таблиця пояснює, як, виходячи з початкових значень t1, v1, x1, можна отримати наближення швидкості v2 та положення x2, в момент t2 = t1 + Δt, де Δt являє собою невелике збільшення і відповідає етапу методу Ейлер.

Вправа 4

IV ) Однією з основних проблем у механіці є блок маси M, прив'язаний до пружини (або пружини) пружної константи K.

Другий закон Ньютона щодо цієї проблеми виглядав би так:

У цьому прикладі для простоти візьмемо M = 1 і K = 1. Знайдіть приблизні розв’язки положення х та швидкості v методом Ейлера на часовому інтервалі, поділивши інтервал на 12 частин.

Прийміть 0 як початковий момент, початкова швидкість 0 та початкова позиція 1.

Рішення

Чисельні результати показані в наступній таблиці:

Також відображаються графіки положення і швидкості між часом 0 і 1,44.

Запропоновані вправи для дому

Вправа 1

Використовуйте електронну таблицю для визначення приблизного рішення, використовуючи метод Ейлера для диференціального рівняння:

y '= - Exp (-y) з початковими умовами x = 0, y = -1 в проміжку x =

Почніть з кроку 0,1. Позначте результат.

Вправа 2

Використовуючи електронну таблицю, знайдіть числові рішення наступного квадратичного рівняння, де y - функція незалежної змінної t.

y '' = - 1 / y² з початковою умовою t = 0; і (0) = 0,5; y '(0) = 0

Знайдіть рішення в інтервалі за допомогою кроку 0,05.

Позначте результат: y vs t; у 'проти т

Список літератури

1. Метод Ерлера, взято з wikipedia.org
2. Ейлер-розв'язувач. Взяті з en.smath.com