ТЕОРЕМА ЧЕБИШОВА: ЩО ЦЕ ТАКЕ, ДОДАТКИ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Теорема Чебишева (Чебишев або нерівність) є одним з найбільш важливих класичних результатів теорії ймовірностей. Це дозволяє оцінити ймовірність події, описаної в термінах випадкової величини X, надаючи нам межу, яка залежить не від розподілу випадкової величини, а від дисперсії X.

Ця теорема названа на честь російського математика Пафнуті Чебишова (також написаного як Чебичев або Чебичефф), який, незважаючи на те, що не був першим, хто заявив цю теорему, вперше дав доказ у 1867 році.

Ця нерівність, або ті, які за своїми характеристиками називаються нерівністю Чебишова, використовуються в основному для наближення ймовірностей шляхом обчислення висот.

З чого він складається?

При дослідженні теорії ймовірностей виявляється, що якщо відома функція розподілу випадкової величини X, її очікуване значення - або математичне очікування E (X) - та її дисперсію Var (X) можна обчислити до тих пір, поки такі суми існують. Однак зворотне не обов'язково вірно.

Тобто, знаючи E (X) і Var (X), необов'язково можливо отримати функцію розподілу X, тому такі величини, як P (-X-> k), для деяких k> 0 отримати дуже важко. Але завдяки нерівності Чебишова можна оцінити ймовірність випадкової величини.

Теорема Чебишова говорить нам, що якщо у нас є вибіркова величина X над пробним простором S з функцією ймовірності p, а якщо k> 0, то:

Програми та приклади

Серед багатьох застосувань теореми Чебишова можна відзначити наступне:

Обмеження ймовірностей

Це найпоширеніший додаток і використовується для задачі верхньої межі для P (-XE (X) -≥k), де k> 0, лише з дисперсією та очікуванням випадкової величини X, не знаючи функції ймовірності .

Приклад 1

Припустимо, що кількість виробів, вироблених у компанії протягом тижня, є випадковою змінною із середнім показником 50.

Якщо дисперсія одного тижня виробництва, як відомо, дорівнює 25, то що можна сказати про ймовірність того, що цього тижня виробництво буде відрізнятися більш ніж на 10 від середнього?

Рішення

Застосовуючи нерівність Чебишова, ми маємо:

З цього ми можемо отримати, що ймовірність того, що на виробничому тижні кількість виробів перевищує середню більш ніж на 10, становить не більше 1/4.

Доведення граничних теорем

Нерівність Чебишова відіграє важливу роль у доведенні найважливіших граничних теорем. Як приклад ми маємо наступне:

Слабкий закон великої кількості

Цей закон говорить, що задані послідовності X1, X2,…, Xn,… незалежних випадкових величин з однаковим середнім розподілом E (Xi) = μ та дисперсією Var (X) = σ ² , і відомий середній вибірки:

Тоді для k> 0 маємо:

Або, рівнозначно:

Демонстрація

Спочатку зауважимо наступне:

Оскільки X1, X2,…, Xn є незалежними, то випливає, що:

Тому можна констатувати наступне:

Тоді, використовуючи теорему Чебишова, маємо:

Нарешті, теорема випливає з того, що межа праворуч дорівнює нулю, коли n наближається до нескінченності.

Слід зазначити, що цей тест був зроблений лише для випадку, коли існує дисперсія Xi; тобто не розходиться. Таким чином, ми спостерігаємо, що теорема завжди вірна, якщо існує E (Xi).

Гранична теорема Чебишова

Якщо X1, X2,…, Xn,… - це послідовність незалежних випадкових величин, така що існує деяка C <нескінченність, така що Var (Xn) ≤ C для всіх природних n, то для будь-якого k> 0:

Демонстрація

Оскільки послідовність дисперсій однаково обмежена, маємо, що Var (Sn) ≤ C / n для всіх природних n. Але ми знаємо це:

Зробити n схильним до нескінченності, є такі результати:

Оскільки ймовірність не може перевищувати значення 1, виходить бажаний результат. Як наслідок цієї теореми ми могли б згадати конкретний випадок Бернуллі.

Якщо експеримент повторюється n разів незалежно з двома можливими результатами (невдача та успіх), де р - ймовірність успіху в кожному експерименті, а X - випадкова величина, яка представляє кількість отриманих успіхів, то для кожного k> 0 ти мусиш:

Обсяг вибірки

З точки зору дисперсії, нерівність Чебишова дозволяє знайти розмір вибірки n, достатній для того, щоб гарантувати, що ймовірність виникнення -Sn-µ -> = k є мінімально потрібною, що дозволяє нам мати апроксимацію до середнього.

Зокрема, нехай X1, X2, … Xn є вибіркою незалежних випадкових величин розміром n та припустимо, що E (Xi) = μ та її дисперсія σ ² . Тоді за нерівністю Чебишова ми маємо:

Приклад

Припустимо, що X1, X2, … Xn - зразок незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, таким чином, що вони приймають значення 1 з вірогідністю p = 0,5.

Яким повинен бути розмір вибірки, щоб можна було гарантувати, що ймовірність того, що різниця між середнім арифметичним Sn та його очікуваним значенням (перевищує понад 0,1), менша або дорівнює 0,01?

Рішення

Маємо, що E (X) = μ = p = 0,5 і що Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. За нерівності Чебишова для будь-якого k> 0 маємо:

Тепер, приймаючи k = 0,1 і δ = 0,01, маємо:

Таким чином робиться висновок про необхідність розміру вибірки не менше 2500, щоб гарантувати, що ймовірність події -Sn - 0,5 -> = 0,1 менше 0,01.

Нерівності Чебишова

Існує кілька нерівностей, пов'язаних з нерівністю Чебишова. Однією з найвідоміших є нерівність Маркова:

У цьому виразі X - негативна випадкова величина з k, r> 0.

Нерівність Маркова може приймати різні форми. Наприклад, нехай Y - негативна випадкова величина (тому P (Y> = 0) = 1) і припустимо, що E (Y) = μ існує. Припустимо також, що (E (Y)) ^r = μ _r існує для деякого цілого числа r> 1. Так:

Інша нерівність - Гауссова, яка говорить нам про те, що задана унімодальна випадкова величина X з режимом на нулі, то для k> 0,

Список літератури

1. Кай Лай Чунг. Елементарна теорія спроможності зі стохастичними процесами. Springer-Verlag New York Inc
2. Кеннет.H. Розен. Дискретна математика та її застосування. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Пол Л. Мейєр. Імовірність та статистичні додатки. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Сеймур Ліпшуц, к.т.н. 2000 р. Розв’язані задачі дискретної математики. McGRAW-HILL.
5. Сеймур Ліпшуц, к.т.н. Теорія та ймовірнісні проблеми. McGRAW-HILL.