ТЕОРЕМА ВАРІНЬОНА: ПРИКЛАДИ ТА РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Теорема Varignon стверджує , що якщо чотирикутник безперервно з'єднані середини сторін, паралелограм генерується. Цю теорему сформулював П'єр Варіньйон і опублікував у 1731 р. У книзі «Елементи математики».

Видання книги сталося через роки після його смерті. Оскільки саме Варіньйон ввів цю теорему, паралелограм названий на його честь. Теорема заснована на евклідовій геометрії та представляє геометричні відношення чотирикутників.

Що таке теорема Варньона?

Вариньйон заявив, що цифра, яка визначається серединами чотирикутника, завжди призведе до паралелограма, а площа паралелограма завжди буде половиною площі чотирикутника, якщо вона плоска і опукла. Наприклад:

На малюнку ви бачите чотирикутник з площею X, де середні точки сторін представлені E, F, G і H і при з'єднанні утворюють паралелограм. Площа чотирикутника буде сумою площ утворених трикутників, і половина цього відповідає площі паралелограма.

Оскільки площа паралелограма становить половину площі чотирикутника, можна визначити периметр цього паралелограма.

Таким чином, периметр дорівнює сумі довжин діагоналей чотирикутника; це тому, що медіани чотирикутника будуть діагоналями паралелограма.

З іншого боку, якщо довжини діагоналей чотирикутника точно однакові, паралелограм буде ромбом. Наприклад:

З рисунка видно, що, з'єднавши середини сторін чотирикутника, виходить ромб. З іншого боку, якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні, паралелограм буде прямокутником.

Також паралелограм буде квадратом, коли чотирикутник має діагоналі однакової довжини і вони також перпендикулярні.

Теорема виконується не лише в плоских чотирикутниках, вона також реалізується в просторовій геометрії або великих розмірах; тобто в тих чотирикутниках, які не опуклі. Прикладом цього може бути октаедр, де середні точки є центроїдами кожної грані і утворюють паралелепіпед.

Таким чином, з'єднуючи середини різних фігур, можна отримати паралелограми. Простий спосіб перевірити, чи справді це правда, - це те, що протилежні сторони повинні бути паралельними, коли їх протягують.

Приклади

Перший приклад

Розширення протилежних сторін, щоб показати, що це паралелограм:

Другий приклад

Приєднуючись до середини ромба, виходить прямокутник:

Теорема використовується в об'єднанні точок, розташованих посередині сторін чотирикутника, і її можна також використовувати для інших типів точок, таких як трисекція, п’ятиріз або навіть нескінченна кількість відрізків ( nth), щоб розділити сторони будь-якого чотирикутника на пропорційні відрізки.

Розв’язані вправи

Вправа 1

На малюнку ми маємо чотирикутник ABCD площі Z, де середні точки сторін цього PQSR. Перевірте, чи утворений паралелограм Вариньона.

Рішення

Видно, що при приєднанні до пунктів PQSR формується паралелограм Вариньона саме тому, що в заяві задані середини чотирикутника.

Щоб продемонструвати це, спочатку з'єднуються середні точки PQSR, тож видно, що утворюється ще один чотирикутник. Щоб довести, що це паралелограм, потрібно лише провести пряму лінію від точки С до точки А, тож видно, що СА паралельно PQ та RS.

Таким же чином при розширенні сторін PQRS видно, що PQ і RS паралельні, як показано на наступному зображенні:

Вправа 2

У нас прямокутник такий, що довжини всіх його сторін рівні. Приєднуючись до середини цих сторін, утворюється ромб ABCD, який ділиться на дві діагоналі AC = 7см і BD = 10см, які збігаються з вимірами сторін прямокутника. Визначте площі ромба та прямокутник.

Рішення

Пам’ятаючи, що площа отриманого паралелограма є половиною чотирикутника, площу їх можна визначити, знаючи, що міра діагоналей збігається зі сторонами прямокутника. Отже, ви повинні:

AB = D

CD = d

_{Прямокутник} = (АВ _* CD) = (10 см _* 7 см) = 70 см ²

_Ромб = А _{прямокутник} / 2

_Ромба = 70 см ² /2 = 35 см ²

Вправа 3

На малюнку є чотирикутник, який має об’єднання точок EFGH, наведені довжини відрізків. Визначте, чи є об'єднання EFGH паралелограмом.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Рішення

Оскільки задано довжини сегментів, це можна перевірити, чи є пропорційність між сегментами; тобто ви можете знати, чи вони паралельні, пов’язуючи відрізки чотирикутника так:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Потім перевіряється пропорційність, оскільки:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Аналогічно, малюючи лінію від точки B до точки D, видно, що EH паралельний BD так само, як BD паралельний FG. З іншого боку, EF паралельно GH.

Таким чином можна визначити, що EFGH є паралелограмом, оскільки протилежні сторони паралельні.

Список літератури

1. Андрес, Т. (2010). Математична олімпіадна ціна. Спрингер. Нью-Йорк.
2. Барбоса, Дж. Л. (2006). Плоска евклідова геометрія. SBM. Ріо-де-Жанейро.
3. Хоар, Е. (1969). Вивчення геометрії. Мексика: латиноамериканська - американська.
4. Рамо, Г.П. (1998). Невідомі рішення проблем Ферма-Торрічеллі. ISBN - Самостійна робота.
5. Віра, Ф. (1943). Елементи геометрії. Богота
6. Вільєр, М. (1996). Деякі пригоди в евклідовій геометрії. Південна Африка.