ПРАВА ТРАПЕЦІЯ: ВЛАСТИВОСТІ, ЗВ’ЯЗКИ ТА ФОРМУЛИ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Права трапеція є плоскою фігурою з чотирьох сторін, таким чином, що два з них паралельний один друг, званих підстави , а також один з інших сторін перпендикулярні до основ.

З цієї причини два внутрішніх кута є правильними, тобто вони вимірюють 90º. Звідси і назва "прямокутник", який надається фігурі. Наведене нижче зображення правої трапеції пояснює ці характеристики:

Елементи трапеції

Елементами трапеції є:

-Бази

-Верти

-Висота

-Внутрішні кути

-Средня база

-Діагоналі

Ми детально розглянемо ці елементи за допомогою рисунків 1 і 2:

Рисунок 1. Права трапеція, що характеризується двома внутрішніми кутами 90 °: A і B. Джерело: F. Zapata.

Сторони правої трапеції позначаються малими літерами a, b, c і d. Кути фігури або вершини позначаються великими літерами. Нарешті внутрішні кути виражаються грецькими літерами.

Згідно з визначенням, основою цієї трапеції є сторони a і b, які, як спостерігається, паралельні і також мають різну довжину.

Сторона, перпендикулярна обом основам, сторона c ліворуч, що є висотою h трапеції. І нарешті, є сторона d, яка утворює гострий кут α зі стороною a.

Сума внутрішніх кутів чотирикутника становить 360º. Неважко помітити, що на рисунку відсутній кут С на 180 - α.

Середня основа - це відрізок, що з'єднує середини точок непаралельних сторін (відрізок EF на малюнку 2).

Малюнок 2. Елементи правої трапеції. Джерело: Ф. Сапата.

І нарешті, є діагоналі d ₁ і d ₂ , відрізки, що з'єднуються протилежні вершини і перетинаються в точці O (див. Рисунок 2).

Взаємовідносини та формули

Висота трапеції h

Периметр Р

Він є мірою контуру і обчислюється додаванням сторін:

Сторона d виражається висотою або стороною c теоремою Піфагора:

Підстановка по периметру:

Середня база

Це напівсума підстав:

Іноді середня база виявляється виражена так:

Площа

Площа A трапеції - добуток середньої основи, що дорівнює висоті:

Діагоналі, сторони та кути

На малюнку 2 з'являється кілька трикутників, як правильний, так і неправий. Теорему Піфагора можна застосувати до тих, що є правильними трикутниками, і до тих, які ні, теореми про косинуси та синуси.

Таким чином знаходять взаємозв'язки між сторонами та між сторонами та внутрішніми кутами трапеції.

Трикутник CPA

Це прямокутник, його ніжки рівні і мають значення b, тоді як гіпотенуза - діагональ d ₁ , отже:

Трикутник DAB

Це також прямокутник, ніжки - a і c (або також ayh), а гіпотенуза d d ₂ , так що:

Трикутник CDA

Оскільки цей трикутник не є правильним трикутником, до нього застосовується теорема косинусів, або також теорема синуса.

Відповідно до теореми косинусів:

Трикутник CDP

Цей трикутник є правильним трикутником і з його сторін побудовані тригонометричні відношення кута α:

Але сторона PD = a - b, отже:

У вас також є:

Трикутник CBD

У цьому трикутнику маємо кут, вершина якого знаходиться на C. Він не позначений на малюнку, але на початку було підкреслено, що він дорівнює 180 - α. Цей трикутник не є правильним трикутником, тому можна застосувати теорему косинусу або теорему синуса.

Тепер можна легко показати, що:

Застосування теореми косинусів:

Приклади правильних трапецій

Трапеції та, зокрема, праві трапеції зустрічаються з багатьох боків, а іноді не завжди в відчутній формі. Тут ми маємо кілька прикладів:

Трапеція як елемент дизайну

Геометричні фігури рясніють архітектурою багатьох будівель, як, наприклад, ця церква в Нью-Йорку, яка показує споруду у формі прямокутної трапеції.

Так само трапецієподібна форма часто зустрічається в дизайні контейнерів, контейнерів, лез (різальних або точних), плит та в графічному дизайні.

Малюнок 3. Ангел всередині прямокутної трапеції в нью-йоркській церкві. Джерело: Девід Герінг через Flickr.

Генератор трапецієподібних хвиль

Електричні сигнали можуть бути не тільки квадратними, синусоїдальними або трикутними. Існують також трапецієподібні сигнали, які корисні у багатьох схемах. На малюнку 4 зображений трапецієподібний сигнал, що складається з двох правих трапецій. Між ними вони утворюють єдину рівнобедрену трапецію.

Малюнок 4. Трапецієподібний сигнал. Джерело: Wikimedia Commons.

У числовому розрахунку

Щоб обчислити в числовій формі певний інтеграл функції f (x) між a і b, використовуємо правило трапеції для апроксимації площі під графіком f (x). На наступному малюнку ліворуч інтеграл наближений однією правою трапецією.

Кращим наближенням є той, що знаходиться в правій фігурі, з кількома правими трапеціями.

Малюнок 5. Визначений інтеграл між a і b є не що інше, як площа під кривою f (x) між цими значеннями. Права трапеція може послужити першим наближенням до такої області, але чим більше використаних трапецій, тим краще наближення. Джерело: Wikimedia Commons.

Балка з трапецієподібним навантаженням

Сили не завжди зосереджені на одній точці, оскільки органи, на які вони діють, мають помітні розміри. Такий випадок мосту, по якому безперервно циркулюють транспортні засоби, води басейну на вертикальних стінах одного або даху, на якому накопичується вода чи сніг.

З цієї причини сили розподіляються на одиницю довжини, площі поверхні чи об’єму, залежно від тіла, на яке вони діють.

У випадку променя, сила, розподілена на одиницю довжини, може мати різні розподіли, наприклад, права трапеція, показана нижче:

Малюнок 6. Навантаження на промінь. Джерело: Бедфорд, А. 1996. Статичний. Аддісон Веслі Інтерамерікана.

Насправді розподіли не завжди відповідають правильним геометричним фігурам, як цей, але вони можуть бути хорошим наближенням у багатьох випадках.

Як навчальний та навчальний інструмент

Геометричні блоки та картинки, включаючи трапеції, дуже корисні для ознайомлення дітей із захоплюючим світом геометрії з раннього віку.

Малюнок 7. Блоки з простими геометричними фігурами. Скільки правильних трапецій приховано у блоках? Джерело: Wikimedia Commons.

Розв’язані вправи

- Вправа 1

У правій трапеції на малюнку 1 більша основа становить 50 см, а менша основа дорівнює 30 см, також відомо, що коса сторона становить 35 див. Знайти:

а) Кут α

б) Висота

в) Периметр

г) середня база

д) Площа

f) Діагоналі

Рішення для

Дані твердження узагальнені так:

a = більша основа = 50 див

b = менша основа = 30 див

d = коса сторона = 35 див

Щоб знайти кут α, ми відвідаємо розділ формул та рівнянь, щоб побачити, який найкраще відповідає наданим даним. Шуканий кут знаходимо в декількох аналізованих трикутниках, наприклад, CDP.

Там у нас є ця формула, яка містить невідомі, а також дані, які ми знаємо:

Таким чином:

Він очищає h:

d ₁ ² = 2 x (30 см) ² = 1800 см ²

d ₁ = √1800 см ² = 42,42 див

А для діагоналі d ₂ :

Список літератури

1. Бальдор, А. 2004. Геометрія площини та простору з тригонометрією. Культурні видання.
2. Бедфорд, А. 1996. Статистика. Аддісон Веслі Інтерамерікана.
3. Молодша геометрія 2014. Полігони. Lulu Press, Inc.
4. Інтернет-школа. Прямокутна трапеція. Відновлено з: es.onlinemschool.com.
5. Автоматичне вирішення задач з геометрії. Трапеція. Відновлено з: scuolaelettrica.it
6. Вікіпедія. Трапеція (геометрія). Відновлено з: es.wikipedia.org.