- Критерії конгруентності
- Конгруентність, ідентичність та подібність
- Приклади конгруентності
- - Конгруентність кутів
- Приклад 1
- Приклад 2
- Приклад 3
- - Конгруентність трикутників
- Розв’язані вправи
- - Вправа 1
- Рішення
- - Вправа 2
- Рішення
- Крок 1
- Крок 2
- Крок 3
- Крок 4
- Крок 5
- Крок 6
- Крок 7
- Крок 8
- Список літератури
Конгруентність в геометрії каже , що якщо дві плоскі фігури мають в ту ж форму і розміри, вони збігаються. Наприклад, два сегменти збігаються, коли їх довжини рівні. Так само збіжні кути мають ту саму міру, хоча вони не орієнтовані однаково в площині.
Термін "конгруенція" походить від латинського congruentia, значення якого - відповідність. Таким чином, дві конгруентні фігури точно відповідають одна одній.
Малюнок 1. Чотирикутники ABCD і A'B'C'D 'на малюнку є збіжними: їхні сторони мають ту саму міру, як і їхні внутрішні кути. Джерело: Ф. Сапата.
Наприклад, якщо ми накладаємо на зображення два чотирикутники, ми виявимо, що вони збігаються, оскільки розташування їх сторін однакове і вони вимірюють однакове.
Розмістивши чотирикутники ABCD та A'B'C'D 'один на одного, цифри точно збігатимуться. Збіжні сторони називаються гомологічними або відповідними сторонами, а символ ≡ використовується для вираження конгруентності. Тож можна сказати, що ABCD ≡ A'B'C'D '.
Критерії конгруентності
Наступні характеристики є загальними для конгруентних багатокутників:
-То ж форма і розмір.
-Ідентичні вимірювання їх кутів.
-Той самий захід з кожної його сторони.
У випадку, якщо два полігони, про які йдеться, є правильними, тобто всі сторони та внутрішні кути вимірюються однаково, конгруентність забезпечується, коли виконується будь-яка з наступних умов:
-Болки суцільні
-Апотеми мають ту саму міру
-Радіус кожного багатокутника вимірює те саме
Апофемою правильного многокутника є відстань між центром та однією зі сторін, а радіус відповідає відстані між центром та вершиною чи кутом фігури.
Критерії конгруентності використовуються часто, тому що стільки деталей і шматків всіх видів виробляються масово і повинні мати однакову форму і розміри. Таким чином їх можна легко замінити при необхідності, наприклад, гайки, болти, простирадла або бруківку на землі на вулиці.
Малюнок 2. Бруківка вулиці - це конгруентні фігури, оскільки їх форма та розміри абсолютно однакові, хоча їх орієнтація на підлогу може змінюватися. Джерело: Pixabay.
Конгруентність, ідентичність та подібність
Існують геометричні поняття, пов'язані з конгруентністю, наприклад однакові фігури та подібні фігури, які не обов'язково означають, що фігури є конгруентними.
Зверніть увагу, що конгруентні фігури однакові, однак чотирикутники на рисунку 1 можуть бути по-різному орієнтовані на площину і все ще залишаються конгруентними, оскільки різна орієнтація не змінює розмір їх сторін чи їх кути. У такому випадку вони більше не будуть ідентичними.
Інша концепція полягає у подібності фігур: дві плоскі фігури схожі, якщо вони мають однакову форму і їх внутрішні кути вимірюють однакові, хоча розмір фігур може бути різним. Якщо це так, цифри не збігаються.
Приклади конгруентності
- Конгруентність кутів
Як ми вказували на початку, конгруентні кути мають ту саму міру. Існує кілька способів отримання конгруентних кутів:
Приклад 1
Дві прямі із спільною точкою визначають два кути, звані протилежні кути через вершину. Ці кути мають однакову міру, тому вони збігаються.
Малюнок 3. Протилежні кути за вершиною. Джерело: Wikimedia Commons.
Приклад 2
Є дві паралельні лінії плюс лінія t, яка перетинає обидві. Як і в попередньому прикладі, коли ця лінія перетинає паралелі, вона генерує конгруентні кути, по одному на кожній лінії з правого боку та ще два з лівого боку. На малюнку зображено α і α 1 , праворуч від лінії t, які є конгруентними.
Малюнок 4. Кути, показані на малюнку, є конгруентними. Джерело: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
Приклад 3
У паралелограмі є чотири внутрішніх кути, які збігаються два-два. Вони є тими, що знаходяться між протилежними вершинами, як показано на наступному малюнку, де два кути зеленого кольору збігаються, а також два кути червоного кольору.
Малюнок 5. Внутрішні кути паралелограма співпадають два на два. Джерело: Wikimedia Commons.
- Конгруентність трикутників
Два трикутники однакової форми та розміру є конгруентними. Для перевірки цього є три критерії, які можна вивчити в пошуках конгруентності:
- критерій LLL : три сторони трикутників мають однакові міри, тому L 1 = L ' 1 ; L 2 = L ' 2 і L 3 = L' 3.
Малюнок 6. Приклад конгруентних трикутників, сторони яких вимірюють однакові. Джерело: Ф. Сапата.
- Критерії ALA та AAL : трикутники мають два рівні внутрішні кути, а сторона між цими кутами має однаковий показник.
Малюнок 7. Критерії ALA та AAL для конгруентності трикутника. Джерело: Wikimedia Commons.
- Критерій LAL : дві сторони однакові (відповідні) і між ними однаковий кут.
Малюнок 8. Критерій LAL для конгруентності трикутників. Джерело: Wikimedia Commons.
Розв’язані вправи
- Вправа 1
На наступному малюнку зображено два трикутники: ΔABC та ΔECF. Відомо, що AC = EF, що AB = 6 і що CF = 10. Крім того, кути ∡BAC і ∡FEC збігаються, а кути ∡ACB і ∡FCB також збігаються.
Малюнок 9. Трикутники для відпрацьованого прикладу 1. Джерело: Ф. Сапата.
Тоді довжина відрізка BE дорівнює:
(i) 5
(ii) 3
(iii) 4
(iv) 2
(v) 6
Рішення
Оскільки два трикутники мають сторону рівної довжини AC = EF між рівними кутами ∡BAC = ∡CEF та ∡BCA = ∡CFE, можна сказати, що два трикутники є узгодженими за критерієм ALA.
Тобто, ΔBAC ≡ ΔCEF, тому ми повинні:
BA = CE = AB = 6
BC = CF = 10
AC = EF
Але відрізок для обчислення - BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.
Тож правильна відповідь - (iii).
- Вправа 2
На малюнку нижче зображено три трикутники. Відомо також, що два зазначених кути вимірюють 80º кожен і що відрізки AB = PD і AP = CD. Знайдіть значення кута X, зазначеного на рисунку.
Малюнок 10. Трикутники для розв’язаного прикладу 2. Джерело: Ф. Сапата.
Рішення
Ви повинні застосувати властивості трикутників, які детально описані крок за кроком.
Крок 1
Починаючи з критерію відповідності трикутника LAL, можна констатувати, що трикутники BAP і PDC є конгруентними:
ΔBAP ≡ ΔPDC
Крок 2
Сказане призводить до твердження, що ВР = ПК, тому трикутник ΔBPC - рівнобедрений і ∡PCB = ∡PBC = X.
Крок 3
Якщо назвати кут BPC γ, то випливає, що:
2x + γ = 180º
Крок 4
І якщо ми називаємо кути APB і DCP β і α кутами ABP і DPC, маємо:
α + β + γ = 180º (оскільки APB - площинний кут).
Крок 5
Крім того, α + β + 80º = 180º за сумою внутрішніх кутів трикутника APB.
Крок 6
Поєднуючи всі ці вирази, ми маємо:
α + β = 100º
Крок 7
І таким чином:
γ = 80º.
Крок 8
Нарешті випливає, що:
2X + 80º = 180º
З X = 50º.
Список літератури
- Бальдор, А. 1973. Геометрія площини та космосу. Центральноамериканська культурна.
- Фонд CK-12. Конгруентні багатокутники. Відновлено: ck 12.org.
- Насолоджуйтесь математикою. Визначення: Радіус (багатокутник). Відновлено з: enjolasmatematicas.com.
- Відкрита довідка з математики. Тестування полігонів на відповідність. Відновлено з: mathopenref.com.
- Вікіпедія. Конгруентність (геометрія). Відновлено з: es.wikipedia.org.
- Сапата, Ф. Трикутники, історія, елементи, класифікація, властивості. Відновлено з: lifeder.com.