КІНЦЕВИЙ НАБІР: ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ, РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Під кінцевим набором розуміється будь-який набір з обмеженою чи лічильною кількістю елементів. Прикладами кінцевих наборів є мармур, який міститься в мішку, набір будинків по сусідству або набір P, утворений першими двадцятьма (20) натуральними числами:

Р = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Набір зірок у Всесвіті, безумовно, величезний, але точно невідомо, чи є він кінцевим чи нескінченним. Однак набір планет у Сонячній системі є скінченним.

Малюнок 1. Набір многокутників є кінцевим, а також підмножиною регулярних. (Вікісховище)

Кількість елементів у кінцевій множині називається його кардинальністю, а для множини P позначається так: Картка ( P ) або # P. Порожній набір має нульову кардинальність і вважається скінченним набором.

Властивості

Серед властивостей кінцевих множин можна виділити наступні:

1- Об'єднання кінцевих множин породжує нову скінченну множину.

2- Якщо два кінцеві множини перетинаються, виходить новий кінцевий набір.

3- Підмножина кінцевої множини є кінцевою, і її кардинальність менша або дорівнює оригінальній множині.

4- Порожній набір - це кінцевий набір.

Приклади

Існує багато прикладів скінченних множин. Деякі приклади включають наступне:

Множина M місяців року, яка в розширеній формі може бути записана так:

M = {січень, лютий, березень, квітень, травень, червень, липень, серпень, вересень, жовтень, листопад, грудень}, кардинальність M дорівнює 12.

Множина S днів тижня: S = {понеділок, вівторок, середа, четвер, п’ятниця, субота, неділя}. Кардинальність S дорівнює 7.

Безліч ЦТС букви іспанського алфавіту є кінцеве безліч, це безліч висунення записується в такий спосіб:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} і його кардинальність дорівнює 27.

Множина V голосних іспанською мовою є підмножиною множини Ñ:

Тому V ⊂ Ñ є кінцевою множиною.

Кінцеве безліч V у розгорнутому вигляді записується так: V = {a, e, i, o, u} і його кардинальність дорівнює 5.

Набори можна виразити розумінням. Набір F, що складається з літер слова "скінченний", є прикладом:

F = {x / x - літера слова "кінцевий"}

Згаданий набір, виражений у широкій формі, буде:

F = {f, i, n, t, o}, чия кардинальність дорівнює 5 і тому є кінцевою множиною.

Більше прикладів

Кольори веселки - ще один приклад кінцевого набору, набір C цих кольорів:

C = {червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, блакитний, синій, фіолетовий} і його кардинальність дорівнює 7.

Сукупність фаз F Місяця - ще один приклад скінченного набору:

F = {Молодий місяць, перша чверть, повний місяць, остання чверть} цей набір має кардинальність 4.

Малюнок 2. Планети Сонячної системи утворюють скінченну множину. (піксабай)

Ще одна кінцева множина - це та, утворена планетами Сонячної системи:

P = {Меркурій, Венера, Земля, Марс, Юпітер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон} кардинальності 9.

Розв’язані вправи

Вправа 1

Наведено наступний набір A = {x∊ R / x ^ 3 = 27}. Висловіть це словами і запишіть це розширенням, вкажіть його кардинальність і скажіть, чи є він кінцевим чи ні.

Рішення: Множина A - це множина дійсних чисел x така, що x кубік в результаті 27.

Рівняння x ^ 3 = 27 має три рішення: вони x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) і x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). З трьох рішень лише x1 справжній, а інші два - складні числа.

Оскільки визначення множини A говорить, що x належить до дійсних чисел, то розв’язки комплексних чисел не є частиною множини A.

Множина A виражена широко:

A = {3}, що є кінцевим набором кардинальності 1.

Вправа 2

Запишіть у символічній формі (за розумінням) та у розгорнутій формі безліч B дійсних чисел, що перевищують 0 (нуль) та менше або дорівнює 0 (нуль). Вкажіть її кардинальність та чи є вона кінцевою.

Рішення: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

Множина B порожня, оскільки реальне число x не може бути одночасно більшим і меншим за нуль, так само як воно не може бути 0, а також менше 0.

B = {} і його кардинальність дорівнює 0. Порожній набір - це кінцевий набір.

Вправа 3

Дано безліч S розв’язків певного рівняння. Множина S шляхом розуміння записується так:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Напишіть згаданий набір у розгорнутій формі, вкажіть його кардинальність та вкажіть, чи це кінцевий набір.

Рішення: Спочатку, аналізуючи вираз, який описує множину S, виходить, що це набір реальних значень x, які є рішеннями рівняння:

(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

Розв’язання цього рівняння дорівнює x = 3, що є дійсним числом і тому належить S. Але є більше розв’язків, які можна отримати, шукаючи розв’язки квадратичного рівняння:

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

Вищенаведений вираз може бути врахований таким чином:

(x - 4) (x - 5) = 0

Що призводить нас до ще двох розв’язків вихідного рівняння (*), що є x = 4 і x = 5. Коротше кажучи, рівняння (*) має як рішення 3, 4 і 5.

Множина S, виражена в широкій формі, виглядає так:

S = {3, 4, 5}, який має кардинальність 3 і тому є кінцевим набором.

Вправа 4

Є два множини A = {1, 5, 7, 9, 11} і B = {x ∊ N / x є рівним ^ x <10}.

Напишіть множину B чітко і знайдіть з'єднання з множиною A. Також знайдіть перехоплення цих двох множин і зробіть висновок.

Рішення: множина B складається з натуральних чисел, таких, що вони є парними і також меншими за значення 10, тому в множині B в розширеному вигляді записується так:

B = {2, 4, 6, 8}

Об'єднання множини A з множиною B є:

AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

і перехоплення множини A з множиною B записується так:

A ⋂ B = {} = Ø - порожній набір.

Слід зазначити, що об'єднання та перехоплення цих двох кінцевих множин призводять до нових множин, які, у свою чергу, також є кінцевими.

Список літератури

1. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТ. Вступ до обчислення. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратичні рівняння: Як розв’язати квадратичне рівняння. Марілù Гаро.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика для менеджменту та економіки. Пірсон освіта.
4. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Поріг.
5. Preciado, CT (2005). Курс математики 3-й. Редакція Progreso.
6. Математика 10 (2018). "Приклади кінцевих наборів". Відновлено з: matematicas10.net
7. Рок, НМ (2006). Алгебра я проста! Так легко. Team Rock Press.
8. Салліван, Дж. (2006). Алгебра та тригонометрія. Пірсон освіта.
9. Вікіпедія. Кінцевий набір. Відновлено з: es.wikipedia.com