СФЕРИЧНІ КООРДИНАТИ: ПРИКЛАДИ ТА РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Ці сферичні координати є набором точок розташування в тривимірному просторі , що складається з радіальної координати і дві кутових координат званих полярними координат і азимутальная координат.

На малюнку 1, який ми бачимо нижче, показані сферичні координати (r, θ, φ) точки М. Ці координати відносяться до ортогональної системи декартових осей X, Y, Z з початком О.

Рисунок 1. Сферичні координати (r, θ, φ) точки M. (wikimedia commons)

У цьому випадку координата r точки M - відстань від цієї точки до початку O. Полярна координата θ являє собою кут між позитивною піввісі Z та радіусом вектора OM. Тоді як азимутальна координата φ - кут між позитивною піввісі X та радіусом вектора OM ', де M' - ортогональна проекція M на площину XY.

Радіальна координата r приймає лише позитивні значення, але якщо точка розташована біля початку, то r = 0. Полярна координата θ приймає як мінімальне значення 0º для точок, розташованих на позитивній піввісі Z, а максимальне значення 180º для точок, розташованих на негативній піввісі Z. Нарешті, азимутальна координата φ приймає як мінімальне значення 0º, а максимальну висоту 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Зміна координат

Далі формули, які дозволяють отримати декартові координати (x, y, z) точки M, будуть задані, якщо припустити, що сферичні координати тієї ж (r, θ, φ) точки відомі:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Таким же чином корисно знайти відносини, щоб пройти від декартових координат (x, y, z) даної точки до сферичних координат зазначеної точки:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Арктан (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Арктан (у / х)

Векторна база в сферичних координатах

Із сферичних координат визначається ортонормальна основа базових векторів, які позначаються Ur , Uθ , Uφ . На малюнку 1 показані ці три одиничні вектори, які мають такі характеристики:

- Ur - одиничний вектор дотичної до радіальної лінії θ = ctte і φ = ctte;

- Uθ - одиничний вектор, дотичний до дуги φ = ctte і r = ctte;

- Uφ - одиничний вектор, дотичний до дуги r = ctte і θ = ctte.

Елементи лінії та об'єму в сферичних координатах

Вектор положення точки в просторі в сферичних координатах записується так:

r = r Ур

Але нескінченно мала зміна або зміщення точки в тривимірному просторі, в цих координатах, виражається наступним векторним відношенням:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Нарешті, нескінченно малий об'єм dV у сферичних координатах записується так:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Ці взаємозв'язки дуже корисні для обчислення інтегралів ліній та об'ємів у фізичних ситуаціях, що мають сферичну симетрію.

Зв'язок з географічними координатами

Під географічними координатами розуміють ті, які служать для пошуку місць на земній поверхні. Ця система використовує координати широти і довготи для визначення положення на поверхні Землі.

У географічній системі координат земна поверхня вважається кулястою з радіусом Rt, навіть якщо вона, як відомо, сплюснута на полюсах, і розглядається набір уявних ліній, що називаються паралелями та меридіанами.

Малюнок 2. Довгота α і широта β спостерігача на земній поверхні.

Широта β - кут, утворений радіусом, який починається від центру Землі до точки, яку ви хочете розташувати. Він вимірюється з екваторіальної площини, як показано на малюнку 2. З іншого боку, довгота α - це кут, який утворює меридіан точки, що знаходиться, щодо нульового меридіана (відомий як Грінвічський меридіан).

Широта може бути північною чи південною широтою, залежно від того, місце, де ви знаходитесь, знаходиться у північній або південній півкулі. Аналогічно, довгота може бути західною або східною залежно від того, місце розташування знаходиться на захід або схід від нульового меридіана.

Формули для зміни від географічних до сферичних

Для отримання цих формул першим ділом є встановлення системи координат. Площина XY обрана так, щоб вона збігалася з екваторіальною площиною, причому позитивна піввісь X - це та, яка йде від центру Землі і проходить через нульовий меридіан. У свою чергу вісь Y проходить через меридіан 90º Е. Земна поверхня має радіус Rt.

З цією системою координат перетворення від географічної до сферичної виглядають так:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Приклади

Приклад 1

Географічні координати Пальма де Майорка (Іспанія):

Східна довгота 38.847º та північна широта 39.570º. Для визначення сферичних координат, що відповідають Пальма де Майорка, застосовується перша з формул формул у попередньому розділі:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 км, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Отже, сферичні координати:

Пальма-де-Майорка: (r = 6371 км, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

У попередній відповіді r прийнято рівним середньому радіусу Землі.

Приклад 2

Знаючи, що острови Мальвіни (Фолкленд) мають географічні координати 59ºO 51,75ºS, визначте відповідні полярні координати. Пам’ятайте, що вісь X йде від центру Землі до меридіана 0º та в екваторіальній площині; вісь Y також в екваторіальній площині і проходить через 90 ° західний меридіан; нарешті вісь Z на осі обертання Землі у напрямку Південь-Північ.

Щоб знайти відповідні сферичні координати, використовуємо формули, представлені в попередньому розділі:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 км, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º), тобто

Мальвіни: (r = 6371 км, θ = 141,75º, φ = 301º)

Вправи

Вправа 1

Знайдіть декартові координати Пальми-де-Майорки в довідковій системі XYZ декартових зображень, показаних на малюнку 2.

Рішення: Раніше в прикладі 1 сферичні координати були отримані, починаючи з географічних координат Пальми де Майорки. Отже, представлені вище формули можна використовувати для переходу від сферичної до декартової:

x = 6371 км Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 км Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 км Cos (50,43º)

Виконуючи відповідні розрахунки, ми маємо:

Пальма-де-Майорка: (x = 3825 км, y = 3081 км, z = 4059)

Вправа 2

Знайдіть декартові координати Фолклендських островів у десертній системі XYZ, показаній на рисунку 2.

Рішення: Раніше в прикладі 2 сферичні координати були отримані, починаючи з географічних координат Мальвінських островів. Отже, представлені вище формули можна використовувати для переходу від сферичної до декартової:

x = 6371 км Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 км Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 км Cos (141,75º)

Виконуючи відповідні розрахунки, отримуємо:

Фолклендські острови: (x = 2031 км, y = -3381 км, z = -5003)

Список літератури

1. Арфкен Г і Вебер Х. (2012). Математичні методи для фізиків. Вичерпний посібник. 7-е видання. Академічна преса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Розрахунок куб. Розв’язані задачі циліндричних і сферичних координат. Відновлено з: Calculo.cc
3. Майстерня з астрономії Широта і довгота. Відновлено з: tarifamates.blogspot.com/
4. Вайштайн, Ерік В. "Сферичні координати". З Інтернету MathWorld-A Wolfram. Відновлено з: mathworld.wolfram.com
5. Вікіпедія. Сферична система координат. Відновлено з: en.wikipedia.com
6. Вікіпедія. Векторні поля в циліндричних і сферичних координатах. Відновлено з: en.wikipedia.com