ВИПАДКОВИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ: КОНЦЕПЦІЯ, ВИБІРКОВИЙ ПРОСТІР, ПРИКЛАДИ - ДУДИ - 2025

Ми говоримо про випадковий експеримент, коли результат кожного конкретного випробування є непередбачуваним, навіть незважаючи на те, що ймовірність виникнення певного результату може бути встановлена.

Однак слід уточнити, що неможливо відтворити один і той же результат випадкової системи з однаковими параметрами та початковими умовами в кожному випробуванні експерименту.

Малюнок 1. Рулон кубиків - випадковий експеримент. Джерело: Pixabay.

Хороший приклад випадкового експерименту - кочення штампу. Навіть якщо подбати про те, щоб закатати штамп так само, кожна спроба дасть непередбачуваний результат. Власне, єдине, про що можна сказати, це те, що результат може бути одним із таких: 1, 2, 3, 4, 5 або 6.

Кидання монети - ще один приклад випадкового експерименту із лише двома можливими результатами: голови чи хвости. Хоча монета кидається з однакової висоти і однаково, фактор випадковості завжди буде присутній, що призводить до невизначеності при кожній новій спробі.

Протилежність випадковому експерименту - детермінований експеримент. Наприклад, відомо, що кожен раз, коли воду кип'ятять на рівні моря, температура кипіння становить 100ºC. Але ніколи не буває, що, дотримуючись однакових умов, результат іноді становить 90 ºC, інші 12 0ºC, а іноді 100 ºC.

Зразок простору

Сукупність усіх можливих результатів випадкового експерименту називається пробним простором. У випадковому експерименті прокатки штампу простір вибірки дорівнює:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

З іншого боку, при викиданні монети пробний простір - це:

М = {голови, хвости}.

Подія чи подія

У випадковому експерименті подія - це виникнення чи ні певного результату. Наприклад, у разі перевертання монети, подія чи подія - це те, що вона піднімає голови.

Ще однією подією у випадковому експерименті може бути така: що число, менше або рівне трьом, перекочується на матрицю.

Якщо подія трапляється, то безліч можливих результатів є безліччю:

E = {1, 2, 3}

У свою чергу, це підмножина вибіркового простору або набору:

М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Приклади

Нижче наведено кілька прикладів, що ілюструють вищесказане:

Приклад 1

Припустимо, дві монети кидаються одна за одною. Він запитує:

а) Укажіть, чи це випадковий експеримент або, навпаки, детермінований експеримент.

б) Який простір вибірки S цього експерименту?

в) Укажіть набір події А, що відповідає результату експерименту головами та хвостами.

г) Обчисліть ймовірність виникнення події А.

д) Нарешті, знайдіть ймовірність того, що відбудеться подія В: в результаті не з’являться голови.

Рішення

Сумка містить 10 білих мармурів та 10 чорних мармурів. Три мармури послідовно витягуються з мішка навмання і не заглядаючи всередину.

а) Визначте пробний простір для цього випадкового експерименту.

б) Визначте набір результатів, що відповідають події А, який полягає у наявності двох чорних мармурів після експерименту.

c) Подія B полягає в отриманні щонайменше двох чорних мармурів, визначенні множини B результатів для цієї події.

г) Яка ймовірність виникнення події А?

д) Знайти ймовірність виникнення події В.

f) Визначте ймовірність того, що результатом випадкового експерименту є те, що у вас є хоча б один чорний мармур. Ця подія буде називатися C.

Малюнок 2. Чорно-білий мармур для випадкових експериментів. Джерело: Needpix.

Рішення для

Для побудови пробного простору корисно скласти схему дерева, подібну до зображеної на малюнку 3:

Малюнок 3. Діаграма дерева, наприклад 2. Підготувала Фанні Сапата.

Набір Ω можливих результатів вилучення трьох мармурів з мішка з однаковою кількістю чорно-білого мармуру - саме вибірковий простір цього випадкового експерименту.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

Рішення b

Сукупність можливих результатів, що відповідають події А, яка складається з двох чорних мармурів:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Розв’язання c

Подія B визначається як: "маючи щонайменше два чорних мармуру після того, як випадковим чином намалювали три з них". Набір можливих результатів події B:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Рішення d

Ймовірність виникнення події А - це коефіцієнт між кількістю можливих результатів цієї події та загальною кількістю можливих результатів, тобто кількістю елементів у просторі вибірки.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Тож існує 37,5% ймовірність виникнення двох чорних мармурів після випадкового витягання з мішка трьох мармурів. Але зауважте, що ми жодним чином не можемо передбачити точний результат експерименту.

Рішення e

Ймовірність того, що відбудеться подія В, що складається з отримання хоча б одного чорного мармуру, є:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Це означає, що можливість виникнення події B дорівнює ймовірності того, що вона не відбудеться.

Рішення f

Імовірність отримання хоча б одного чорного мармуру після нанесення трьох з них дорівнює 1 мінус ймовірності того, що результатом стануть «три білі мармури».

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Тепер ми можемо перевірити цей результат, зазначивши, що кількість можливостей, що відбувається подія C, дорівнює кількості елементів можливих результатів події C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Список літератури

1. CanalPhi. Випадковий експеримент. Відновлено з: youtube.com.
2. MateMovil. Випадковий експеримент. Відновлено з: youtube.com
3. Пішро Нік Х. Вступ до ймовірності. Відновлено з: ймовірність курсу
4. Росс. Ймовірність та статистика для інженерів. Mc-Graw Hill.
5. Вікіпедія. Експеримент (теорія ймовірностей). Відновлено з: en.wikipedia.com
6. Вікіпедія. Детермінований захід. Відновлено: es. wikipedia.com
7. Вікіпедія. Випадковий експеримент. Відновлено з: es.wikipedia.com