ЗАГАЛЬНИЙ ФАКТОР ЗА ГРУПУВАННЯМ ТЕРМІНІВ: ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Загальний фактор, групуючи терміни є алгебраїчною процедурою , яка дозволяє писати деякі алгебраїчні вирази у вигляді факторів. Для досягнення цієї мети потрібно спочатку правильно групувати вираз і спостерігати, що кожна така утворена група має фактично загальний фактор.

Правильно застосовувати техніку вимагає певної практики, але ви її швидко не освоюєте. Давайте спочатку розглянемо ілюстративний приклад, описаний крок за кроком. Тоді читач може застосувати те, що вони навчилися, у кожній із вправ, які з’являться пізніше.

Малюнок 1. Встановлення загального фактора шляхом групування термінів полегшує роботу з алгебраїчними виразами. Джерело: Pixabay.

Наприклад, припустимо, що вам потрібно визначити такий вираз:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Цей алгебраїчний вираз складається з 4 одночленів або термінів, розділених знаками + і -, а саме:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Придивившись уважно, x є спільним для перших трьох, але не останніх, тоді як y є спільним для другого і четвертого, а z є спільним для третього і четвертого.

Так що в принципі немає загального чинника для чотирьох термінів одночасно, але якщо вони згруповані так, як буде показано в наступному розділі, можливо, з’явиться один, який допомагає записати вираз як добуток двох або більше чинників.

Приклади

Фактор вираження: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Крок 1 : Групуйте

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Крок 2: Знайдіть загальний фактор кожної групи

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Я важливо : негативний знак також є загальним фактором, який потрібно враховувати.

Тепер зауважимо, що дужки (x + y) повторюються у двох доданках, отриманих групуванням. Це загальний фактор, якого шукали.

Крок 3: Розбийте фактор на весь вираз

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

З попереднім результатом була досягнута мета факторингу, яка не що інше, як перетворення алгебраїчного вираження, заснованого на додаваннях і відніманні доданків, у добуток двох або більше факторів, у нашому прикладі: (x + у) і (2x - 3z).

Важливі питання щодо загального фактора шляхом групування

Питання 1 : Як знати, що результат правильний?

Відповідь : властивість розподілу застосовується до отриманого результату, і після зменшення та спрощення отриманий таким чином вираз повинен відповідати початковому, якщо ні, то є помилка.

У попередньому прикладі ми працюємо в зворотному порядку з результатом, щоб перевірити, чи правильно він:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Оскільки порядок додавань не змінює суму, після застосування властивості розподілу повертаються всі початкові умови, включаючи знаки, отже, факторизація є правильною.

Запитання 2: Чи можна було це згрупувати іншим способом?

Відповідь: Існують алгебраїчні вирази, які дозволяють використовувати більш ніж одну форму групування та інші, які не мають. У вибраному прикладі читач може самостійно спробувати інші можливості, наприклад групування таким чином:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

І ви можете перевірити, що результат такий самий, як він був отриманий тут. Пошук оптимального групування - справа практики.

Питання 3: Чому з алгебраїчного виразу потрібно брати загальний фактор?

Відповідь : Тому що існують програми, де вираження, яке враховує фактори, полегшує обчислення. Наприклад, припустимо, що ви хочете встановити 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy, що дорівнює 0. Які можливості?

Щоб відповісти на це питання, версія з фактом є набагато кориснішою, ніж початкова розробка в плані. Це зазначено так:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Одна з можливостей того, що вираз вартує 0, є те, що x = -y, незалежно від значення z. А інше - x = (3/2) z, незалежно від значення y.

Вправи

- Вправа 1

Витягніть загальний фактор наступного виразу шляхом групування термінів:

ax + ay + bx + by

Рішення

Перші два згруповані з загальним фактором "а", а останні два із загальним фактором "b":

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Як тільки це буде зроблено, виявляється новий загальний фактор, який є (x + y), так що:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Ще один спосіб групування

Цей вираз підтримує інший спосіб групування. Давайте подивимося, що станеться, якщо умови переставити і створити групу з тих, що містять x, а іншу - з тими, що містять y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Таким чином новим загальним фактором є (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Що призводить до того ж результату від першого тестування групування.

- Вправа 2

Наступний алгебраїчний вираз потрібно записати як добуток двох факторів:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Рішення

Цей вираз містить 6 термінів. Спробуємо групувати перше і четверте, друге і третє і нарешті п’яте і шосте:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Тепер кожна дужка враховується:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

На перший погляд здається, що ситуація складна, але читача не варто відстороняти, оскільки ми збираємося переписати останній термін:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Останні два терміни мають загальний фактор, який є (3b-a), тому їх можна враховувати. Дуже важливо не втрачати з уваги перший термін a ² (3a - 1), який повинен продовжувати супроводжувати все як доповнення, навіть якщо ви не працюєте з ним:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Вираз було зведено до двох термінів, і в останньому виявляється новий загальний фактор, який є "b". Тепер залишається:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Наступний загальний фактор, який з'явиться, - 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Або якщо ви віддаєте перевагу без дужок:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Чи може читач знайти інший спосіб групування, який призводить до цього ж результату?

Малюнок 2. Запропоновані вправи на факторинг. Джерело: Ф. Сапата.

Список літератури

1. Бальдор, А. 1974. Елементарна алгебра. Культурна Венезолана С.А.
2. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
3. Основні випадки факторингу. Відновлено з: julioprofe.net.
4. УНАМ. Основна математика: факторизація шляхом групування термінів. Факультет обліку та адміністрації.
5. Зілл, Д. 1984. Алгебра та тригонометрія. MacGraw Hill.