ІН'ЄКЦІЙНА ФУНКЦІЯ: ЩО ЦЕ ТАКЕ, ДЛЯ ЧОГО ЦЕ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Ін'єкційних функцією є будь-яким відношенням елементів домену з одним елементом з області значень. Також відомі як функція " один на один" ( 1 - 1 ), вони є частиною класифікації функцій щодо того, як пов'язані їх елементи.

Елементом кодомена може бути лише зображення одного елемента домену, таким чином значення залежної змінної неможливо повторити.

Джерело: Автор.

Яскравим прикладом може бути групування чоловіків з робочими місцями в групі A, а в групі B - всі начальники. Функція F буде тією, яка асоціює кожного працівника зі своїм начальником. Якщо кожен працівник асоціюється з іншим начальником через F , тоді F буде ін'єкційною функцією .

Щоб вважати функцію ін’єктивною , необхідно виконати наступне:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Це алгебраїчний спосіб сказати. Для кожного x _1, відмінного від x _2, ми маємо F (x ₁ ), відмінний від F (x ₂ ).

Для чого призначені ін'єкційні функції?

Інжективність є властивістю безперервних функцій, оскільки вони забезпечують призначення зображень кожному елементу домену, що є важливим аспектом у безперервності функції.

Малюючи лінію, паралельну осі X на графіку інжекційної функції, графік слід торкатися лише в одній точці, незалежно від того, на якій висоті чи величині Y намальована лінія. Це графічний спосіб перевірити працездатність функції.

Інший спосіб перевірити, чи функція є ін'єктивною, - розв’язати незалежну змінну X через залежну змінну Y. Тоді її слід перевірити, чи домен цього нового виразу містить дійсні числа, одночасно як для кожного значення Y є єдине значення X.

Функції або відносини порядку підкоряються, серед іншого, позначенню F: D _f → C _f

Що читається F, що переходить від D _f до C _f

Де функція F позначає набори Домен і Кодомен. Також відомий як стартовий набір і фінішний комплект.

Домен D _f містить дозволені значення незалежної змінної. Кодомен C _f складається з усіх значень, доступних залежній змінній. Елементи C _f, пов'язані з D _f , відомі як Діапазон функції (R _f ).

Функціонування кондиціонування

Іноді функція, яка не є ін’єкційною, може бути піддана певним умовам. Ці нові умови можуть зробити його ін’єкційною функцією. Усі види модифікацій домену та кодомінії функції є дійсними, де мета полягає у виконанні властивостей інжекційності у відповідному співвідношенні.

Приклади ін'єкційних функцій з розв’язаними вправами

Приклад 1

Нехай функція F: R → R визначається прямою F (x) = 2x - 3

A:

Джерело: Автор.

Помічено, що для кожного значення домену є зображення в кодомейн. Це зображення унікальне, що робить F ін'єкційною функцією. Це стосується всіх лінійних функцій (Функцій, найвища ступінь змінної яких - одна).

Джерело: Автор.

Приклад 2

Нехай функція F: R → R визначається через F (x) = x ² +1

Джерело: Автор

Малюючи горизонтальну лінію, ми помічаємо, що графік знаходимо не один раз. Завдяки цьому функція F не є ін'єкційною, доки визначено R → R

Переходимо до умови функціонування домену функції:

F: R ⁺ U {0} → R

Джерело: Автор

Тепер незалежна змінна не приймає від'ємних значень, таким чином уникається повторення результатів і функція F: R ⁺ U {0} → R, визначена F (x) = x ² + 1, є ін'єктивною .

Іншим гомологічним рішенням було б обмеження домену зліва, тобто обмеження функції лише приймати негативні та нульові значення.

Переходимо до умови роботи функції

F: R ^- U {0} → R

Джерело: Автор

Тепер незалежна змінна не приймає негативних значень, таким чином уникається повторення результатів, а функція F: R ^- U {0} → R, визначена F (x) = x ² + 1, є ін'єктивною .

Тригонометричні функції мають хвилеподібну поведінку, де дуже часто зустрічаються повтори значень у залежній змінній. Шляхом конкретних кондиціонерів, виходячи з попередніх знань про ці функції, ми можемо обмежити область, щоб задовольнити умови ін'єктивності.

Приклад 3

Нехай функція F: → R визначається через F (x) = Cos (x)

У проміжку косинусова функція змінює результати між нулем і одиницею.

Джерело: Автор.

Як видно на графіку. Він починається від нуля при x = - π / 2, потім досягає максимуму при нулі. Саме після x = 0 значення починають повторюватися, поки вони не повернуться до нуля при x = π / 2. Таким чином відомо, що F (x) = Cos (x) не є ін'єктивним для інтервалу.

При вивченні графіка функції F (x) = Cos (x) спостерігаються інтервали, де поведінка кривої пристосовується до критеріїв інжективності. Такі, як інтервал

Якщо функція змінюється, це результат від 1 до -1, не повторюючи значення в залежній змінній.

Таким чином функція функції F: → R, визначена F (x) = Cos (x). Він є ін’єкційним

Існують нелінійні функції, де трапляються подібні випадки. Для виразів раціонального типу, де знаменник містить щонайменше одну змінну, існують обмеження, що перешкоджають ін'єктивності відносини.

Приклад 4

Нехай функція F: R → R визначається через F (x) = 10 / x

Функція визначена для всіх дійсних чисел, за винятком {0}, що має невизначеність (її неможливо розділити на нуль) .

Коли залежна змінна наближається до нуля зліва, вона приймає дуже великі від’ємні значення, а відразу після нуля значення залежної змінної приймають великі додатні цифри.

Цей зрив робить вираз F: R → R, визначений F (x) = 10 / x

Не будь ін’єкційним.

Як видно з попередніх прикладів, виключення значень у домені служить для "відновлення" цих невизначеностей. Ми переходимо до виключення нуля з домену, залишаючи набір стартових та фінішних параметрів таким чином:

R - {0} → R

Де R - {0} символізує дійсність за винятком набору, єдиним елементом якого є нуль.

Таким чином вираз F: R - {0} → R, визначений F (x) = 10 / x, є ін'єктивним.

Приклад 5

Нехай функція F: → R визначається через F (x) = Sen (x)

У проміжку синусоїда змінює результати між нулем і одиницею.

Джерело: Автор.

Як видно на графіку. Він починається від нуля при x = 0, а потім досягає максимуму при x = π / 2. Саме після x = π / 2 значення починають повторюватися, поки вони не повернуться до нуля при x = π. Таким чином відомо, що F (x) = Sen (x) не є ін'єктивним протягом інтервалу.

При вивченні графіка функції F (x) = Sen (x) спостерігаються інтервали, де поведінка кривої пристосовується до критеріїв інжективності. Такі, як інтервал

Якщо функція змінюється, це результат від 1 до -1, не повторюючи значення в залежній змінній.

Таким чином функція F: → R визначена F (x) = Sen (x). Він є ін’єкційним

Приклад 6

Перевірте, чи функція F: → R визначена F (x) = Tan (x)

F: → R, визначений F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R, визначена лінією F (x) = 7x + 2

Список літератури

1. Вступ до логіки та критичного мислення. Merrilee H. Salmon. Університет Пітсбурга
2. Проблеми математичного аналізу. Пьотр Білер, Альфред Вітковський. Університет Вроцлава. Польща.
3. Елементи абстрактного аналізу. Мічел О'Серкоїд, кандидат наук. Кафедра математики. Університетський коледж Дубліна, Beldfield, Dublind 4.
4. Вступ до логіки та методології дедуктивних наук. Альфред Тарскі, Нью-Йорк Оксфорд. Оксфордська університетська преса.
5. Принципи математичного аналізу. Енріке Лінеш Ескардо. Редакція Reverté S. A 1991. Барселона, Іспанія.