ГОМОТЕЧНІСТЬ: ВЛАСТИВОСТІ, ТИПИ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Дилатація є геометричним зміною в площині , яка, з фіксованою точкою називається центр (O), відстані множиться на загальний множник. Таким чином, кожна точка P відповідає іншій точці P 'добутку перетворення, і вони вирівнюються з точкою O.

Отже, гомотетія - це відповідність між двома геометричними фігурами, де перетворені точки називають гомотетичними, і вони вирівнюються з фіксованою точкою та з відрізками, паралельними одна одній.

Гомотезія

Гомотетія - це перетворення, яке не має конгруентного зображення, оскільки з фігури вийде одна чи кілька фігур більшого або меншого розміру, ніж початкова фігура; тобто гомотетія перетворює багатокутник в інший подібний.

Для того, щоб гомотетія була виконана, точка-точка та лінія-лінія повинні відповідати так, щоб пари гомологічних точок були вирівняні з третьою фіксованою точкою, яка є центром гомотеції.

Так само пари ліній, що їх з'єднують, повинні бути паралельними. Зв'язок між такими сегментами - це константа, яка називається коефіцієнтом гомотеційності (k); таким чином, що гомотечність може бути визначена як:

Для здійснення цього виду перетворень ми починаємо з вибору довільної точки, яка буде центром гомотетії.

З цього моменту малюються відрізки ліній для кожної вершини фігури, що перетворюється. Шкала, в якій проводиться відтворення нової фігури, задається співвідношенням гомотеційності (k).

Властивості

Однією з головних властивостей гомотезії є те, що за гомотетичною причиною (k) всі гомотетичні фігури однакові. Серед інших видатних властивостей можна виділити наступні:

- центр гомотеції (O) - єдина подвійна точка, і це перетворюється на себе; тобто не змінюється.

- Лінії, що проходять через центр, перетворюються на себе (вони подвійні), але точки, які складають його, не є подвійними.

- лінії, які не проходять через центр, перетворюються на паралельні лінії; таким чином, кути гомотеційності залишаються однаковими.

- Зображення відрізка за однорідністю центру O і відношення k, є відрізком, паралельним цьому і має k кращу його довжину. Наприклад, як видно з наступного зображення, відрізок AB за гомотетією призведе до іншого відрізка A'B ', такий що AB буде паралельний A'B', а k буде:

- гомотетичні кути є конгруентними; тобто вони мають однакову міру. Тому зображення кута - це кут, який має однакову амплітуду.

З іншого боку, ми маємо, що гомотетія змінюється залежно від значення її відношення (k), і можуть виникати такі випадки:

- Якщо константа k = 1, всі точки фіксуються, оскільки вони перетворюються. Таким чином, гомотетична фігура збігається з вихідною і перетворення буде називатися функцією тотожності.

- Якщо k ≠ 1, єдиною фіксованою точкою буде центр гомотетика (O).

- якщо k = -1, гомотетія стає центральною симетрією (C); тобто відбуваються обертання навколо C, під кутом 180 ^або .

- Якщо k> 1, розмір перетвореної фігури буде більшим, ніж розмір оригіналу.

- Якщо 0 <k <1, розмір перетвореної фігури буде меншим, ніж початковий.

- Якщо -1 <k <0, розмір перетвореної фігури буде меншим і він повернеться відносно оригіналу.

- Якщо k <-1, розмір перетвореної фігури буде більшим і він буде повернутий по відношенню до оригіналу.

Типи

Гомотечність також можна класифікувати на два типи, залежно від значення її відношення (k):

Пряма гомотечність

Вона виникає, якщо константа k> 0; тобто гомотетичні точки розташовані на одній стороні щодо центру:

Коефіцієнт пропорційності або співвідношення подібності між прямими гомотетичними фігурами завжди буде позитивним.

Зворотна гомотечність

Він виникає, якщо константа k <0; тобто початкові точки і їх гомотетика розташовані на протилежних кінцях відносно центру гомотетика, але вирівняні до нього. Центр буде розташований між двома фігурами:

Коефіцієнт пропорційності або співвідношення подібності між оберненими гомотетичними фігурами завжди буде негативним.

Склад

Коли послідовно здійснюються кілька рухів до отримання фігури, рівної оригіналу, складається композиція рухів. Склад кількох рухів - це також рух.

Композиція між двома гомотезіями призводить до нової гомотетрії; тобто є добуток однорідностей, в якому центр буде вирівняний з центром двох початкових перетворень, а відношення (k) - добуток двох співвідношень.

Таким чином, у складі двох гомотецій H ₁ (O ₁ , k ₁ ) і H ₂ (O ₂ , k ₂ ) множення їх співвідношень: k ₁ xk ₂ = 1 призведе до однорідності відношення k ₃ = k ₁ xk ₂ . Центр цієї нової гомотезії (O ₃ ) буде розташований на лінії O ₁ O ₂ .

Гомотеція відповідає плоскої та незворотній зміні; Якщо застосовано дві гомотетії, які мають однаковий центр та співвідношення, але мають інший знак, вийде початкова цифра.

Приклади

Перший приклад

Застосуйте гомотетію до заданого многокутника центру (O), розташованого в 5 см від точки A і співвідношення якого k = 0,7.

Рішення

Будь-яка точка обрана як центр гомотетії, і від цієї точки променяються промені через вершини фігури:

Відстань від центру (O) до точки A дорівнює OA = 5; За допомогою цього можна визначити відстань однієї з гомотетичних точок (OA '), також знаючи, що k = 0,7:

OA '= kx OA.

ОА '= 0,7 х 5 = 3,5.

Процес можна виконати для кожної вершини, або гомотетичний багатокутник також можна скласти, пам’ятаючи, що два полігони мають паралельні сторони:

Нарешті, трансформація виглядає приблизно так:

Другий приклад

Застосуйте гомотетію до даного многокутника з центром (O), розташованим в 8,5 см від точки С і співвідношення у якого k = -2.

Рішення

Відстань від центру (O) до точки C дорівнює OC = 8,5; За допомогою цих даних можна визначити відстань однієї з гомотетичних точок (OC '), також знаючи, що k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Намалювавши відрізки вершин перетвореного многокутника, маємо, що початкові точки та їх гомотетика розташовані на протилежних кінцях щодо центру:

Список літератури

1. Альваро Рендон, А.Р. (2004). Технічний малюнок: зошит про діяльність.
2. Антоніо Альварес де ла Роза, JL (2002). Спорідненість, гомологія та гомотезія.
3. Баер, Р. (2012). Лінійна алгебра та проективна геометрія. Кур'єрська корпорація.
4. Геберт, Ю. (1980). Загальна математика, ймовірності та статистика.
5. Meserve, BE (2014). Фундаментальні поняття геометрії. Кур'єрська корпорація.
6. Начбін, Л. (1980). Вступ до алгебри. Поверніть.