Теорема Байєса це процедура , яка дозволяє , щоб висловити умовної ймовірності випадкової події даного B, з точки зору розподілу ймовірностей події А і В , так як розподіл ймовірностей тільки А.
Ця теорема є дуже корисною, оскільки завдяки їй ми можемо співвіднести ймовірність того, що подія А відбудеться, знаючи, що сталася В, з ймовірністю того, що відбудеться протилежне, тобто, що B відбувається за А.
Теорема Байєса була срібною пропозицією преподобного Томаса Байеса, англійського богослова 18 століття, який також був математиком. Він був автором кількох праць з теології, але сьогодні він відомий парою математичних трактатів, серед яких головним результатом виділяється вищезгадана теорема Байєса.
Байєс розглядав цю теорему в праці під назвою "Нарис вирішення проблеми вчення про шанси", опублікованій в 1763 році, і в якій розроблено велику кількість. дослідження з додатками в різних областях знань.
Пояснення
По-перше, для кращого розуміння цієї теореми необхідні деякі основні поняття теорії ймовірностей, особливо теорема множення на умовну ймовірність, яка стверджує, що
Для E і A довільні події зразкового простору S.
І визначення розділів, яке говорить нам про те, що якщо ми маємо A 1 , A 2 , …, A n події зразкового простору S, вони утворюватимуть розділ S, якщо A i є взаємовиключними і їх об'єднання є S.
Враховуючи це, нехай B буде іншою подією. Таким чином, ми можемо бачити B як
Там, де A i перетинається з B, є взаємовиключними подіями.
І як наслідок,
Потім, застосовуючи теорему множення
З іншого боку, умовна ймовірність Ai, заданої B, визначається через
Замінивши належним чином, ми маємо це для будь-якого i
Застосування теореми Байєса
Завдяки цьому результату дослідницьким групам та різним корпораціям вдалося вдосконалити системи, засновані на знаннях.
Наприклад, при дослідженні захворювань теорема Байєса може допомогти виявити ймовірність того, що хвороба виявлена у групі людей із заданою характеристикою, беручи в якості даних глобальні показники захворювання та поширеність зазначених характеристик у як здорових, так і хворих людей.
З іншого боку, у світі високих технологій він вплинув на великі компанії, які розробили, завдяки цьому результату, програмне забезпечення «На основі знань».
Як щоденний приклад ми маємо помічника Microsoft Office. Теорема Байєса допомагає програмному забезпеченню оцінити проблеми, які представляє користувач, і визначити, яку пораду слід надати, щоб він міг запропонувати кращу послугу відповідно до звичок користувача.
Примітно, що ця формула до останнього часу ігнорувалася, це головним чином тому, що, коли цей результат був розроблений 200 років тому, практичне їх використання мало. Однак у наш час, завдяки великим технологічним досягненням, вчені знайшли способи втілити цей результат на практиці.
Розв’язані вправи
Вправа 1
Компанія мобільних телефонів має дві машини A і B. 54% вироблених стільникових телефонів виготовлені машиною A, а решта машиною B. Не всі вироблені стільникові телефони знаходяться в хорошому стані.
Частка несправних стільникових телефонів, виготовлених A, становить 0,2, а B - 0,5. Яка ймовірність того, що мобільний телефон із цієї фабрики несправний? Яка ймовірність того, що, знаючи, що мобільний телефон несправний, він походить від машини A?
Рішення
Тут у вас є експеримент, який робиться у двох частинах; у першій частині відбуваються події:
A: осередок, виготовлений машиною А.
B: осередок, виготовлений машиною B.
Оскільки машина А виробляє 54% стільникових телефонів, а решта виробляється на машині B, випливає, що машина B виробляє 46% стільникових телефонів. Наведено ймовірності цих подій, а саме:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Події другої частини експерименту:
Д: несправний стільниковий телефон.
Е: Несправний стільниковий телефон.
Як зазначено в заяві, ймовірність цих подій залежить від результату, отриманого в першій частині:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Використовуючи ці значення, можна також визначити ймовірність доповнення цих подій, тобто:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
і
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Тепер подію D можна записати так:
Використання теореми множення для результатів умовної ймовірності:
Після цього дається відповідь на перше питання.
Тепер нам залишається лише обчислити P (AD), для якого застосовується теорема Байєса:
Завдяки теоремі Байєса можна стверджувати, що ймовірність того, що стільниковий телефон був зроблений машиною A, знаючи, що стільниковий телефон несправний, становить 0,319.
Вправа 2
Три коробки містять чорно-білі кульки. Склад кожного з них такий: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Одне з ящиків вибирається навмання, а куля витягується навмання, яка виявляється білою. Яку коробку найімовірніше обрали?
Рішення
Використовуючи U1, U2 та U3, ми також будемо представляти вибране поле.
Ці події складають розділ S і перевіряється, що P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, оскільки вибір поля є випадковим.
Якщо B = {намальована куля біла}, матимемо P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Що ми хочемо отримати, це ймовірність того, що кулю вийняли з поля Ui, знаючи, що вказана куля була білою, тобто P (Ui-B), і побачимо, яке з трьох значень було найвищим, про яке слід знати поле, швидше за все, видобуток кульки.
Застосування теореми Байєса до першого з вікон:
А для двох інших:
P (U2-B) = 2/6 і P (U3-B) = 1/6.
Тоді, перший із скриньок - це той, який має найбільшу ймовірність того, що його обрали для вилучення кулі-бита.
Список літератури
- Кай Лай Чунг. Елементарна теорія спроможності зі стохастичними процесами. Springer-Verlag New York Inc
- Кеннет.H. Розен. Дискретна математика та її застосування. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Пол Л. Мейєр. Імовірність та статистичні додатки. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Сеймур Ліпшуц, к.т.н. 2000 р. Розв’язані задачі дискретної математики. McGRAW-HILL.
- Сеймур Ліпшуц, к.т.н. Теорія та ймовірнісні проблеми. McGRAW-HILL.