Зелений «и теорема є метод розрахунку використовується для підключення лінійних інтегралів подвійних інтегралів або площі поверхні. Задіяні функції потрібно позначати як векторні поля та визначати в межах шляху C.
Наприклад, рядковий інтегральний вираз може бути дуже важким для вирішення; однак, реалізуючи теорему Гріна, подвійні інтеграли стають цілком основними. Завжди важливо дотримуватися позитивного напрямку траєкторії, це стосується напрямку проти годинникової стрілки.
Теорема Гріна - це окремий випадок теореми Стокса, де проекція векторної функції здійснюється в площині xy.
Визначення
Вираз теореми Гріна такий:
Перший додаток показує інтегральний рядок, визначений шляхом "С", скалярного добутку між векторною функцією "F" і векторною "r".
В: Це визначений шлях, на який буде проектуватися векторна функція, поки вона визначена для цієї площини.
F: Векторна функція, де кожен її компонент визначається функцією як такою (f, g).
r: Це векторна дотична до області R, над якою визначений інтеграл. У цьому випадку ми працюємо з диференціалом цього вектора.
На другому терміні ми бачимо розроблену теорему Гріна, де спостерігається подвійний інтеграл, визначений в області R різниці парціальних похідних g і f, щодо x і y відповідно. За диференційованою площею, що є не що інше, як добуток обох двовимірних диференціалів (dx.dy).
Ця теорема цілком застосовна для інтегралів простору та поверхні.
Демонстрація
Щоб довести теорему Гріна простим способом, це завдання буде розбито на 2 частини. Перш за все, будемо вважати, що векторна функція F має лише визначення у версії i. Тоді як функція "g", відповідна версору j, буде дорівнює нулю.
Автор
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Спочатку ми розробляємо прямий інтеграл через шлях С, для якого шлях був розділений на 2 ділянки, які йдуть спочатку від a до b, а потім від b до a.
Визначення фундаментальної теореми обчислення застосовується для певного інтеграла.
Вираз переставляється в єдиний інтеграл, негатив робиться загальним фактором, і порядок факторів змінюється на зворотній стороні.
Детально спостерігаючи за цим виразом, стає очевидним, що при застосуванні критеріїв примітивної функції ми знаходимось у присутності інтеграла виразу, похідного від f щодо y. Оцінюється за параметрами
Тепер достатньо припустити, що векторна функція F визначена лише для g (x, y) j . Якщо під час роботи аналогічно попередньому випадку, виходить таке:
Для закінчення беруться два доказування та з'єднуються у випадку, коли векторна функція приймає значення для обох вершин. Таким чином показано, як інтеграл лінії після визначення та розгляду як одновимірна траєкторія може бути повністю розроблений для площини та простору.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Таким чином доводиться теорема Гріна.
Програми
Застосування теореми Гріна широко в галузях фізики та математики. Вони поширюються на будь-яку програму чи використання, які можуть бути надані лінійній інтеграції.
Механічна робота, виконана силою F через шлях С, може бути розроблена лінійним інтегралом, який виражається подвійним інтегралом площі за теоремою Гріна.
Моменти інерції багатьох тіл, що піддаються зовнішнім силам у різних точках застосування, також реагують на лінійні інтеграли, які можна розвинути за теоремою Гріна.
Це має декілька функціональних можливостей у дослідженнях стійкості матеріалів, що використовуються. Де зовнішні значення можна кількісно визначити та врахувати до розробки різних елементів.
Взагалі теорема Гріна полегшує розуміння та визначення областей, де визначені векторні функції відносно області вздовж шляху.
Історія
Він був опублікований у 1828 р. У праці "Математичний аналіз до теорій електрики та магнетизму", написаній британським математиком Джорджем Гріном. У ньому досліджуються досить вирішальні розділи щодо застосування числення у фізиці, такі як поняття потенційних функцій, функції Гріна та застосування його самоназваної теореми.
Джордж Грін формалізував свою студентську кар'єру у віці 40 років, будучи дотепер абсолютно самоуком математиком. Після навчання в Кембриджському університеті він продовжив свої дослідження, зробивши внесок у акустику, оптику та гідродинаміку, які діють і сьогодні.
Зв'язок з іншими теоремами
Теорема Гріна є окремим випадком, і вона виникає з двох інших дуже важливих теорем у галузі числення. Це теорема Кельвіна-Стокса і дивергенція або теорема Гаусса Остроградського.
Починаючи з будь-якої з двох теорем, можна дійти до теореми Гріна. Для розробки таких доказів необхідні певні визначення та пропозиції.
Вправи
- Наступна вправа показує, як перетворити інтеграл прямої в подвійний інтеграл відносно області R.
Оригінальний вираз такий:
Звідки взяті відповідні функції af і g
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Не існує єдиного способу визначення меж інтеграції при застосуванні теореми Гріна. Але є способи, коли інтеграли після визначення можуть бути простішими. Тож оптимізація меж інтеграції заслуговує на увагу.
Де при розв’язуванні інтегралів отримуємо:
Це значення відповідає в кубічних одиницях області нижче векторної функції та над трикутною областю, визначеною С.
У випадку інтеграла рядка без використання методу Гріна необхідно було б параметризувати функції в кожному розділі регіону. Тобто виконайте 3 параметризованих інтеграла для роздільної здатності. Це є достатнім свідченням ефективності, яку Роберт Грін приніс із теоремою для обчислення.
Список літератури
- Вступ до механіки континууму. W Майкл Лай, Девід Х. Рубін, Ерхард Кремпл, Девід Рубін Баттерворт-Хайеман, 23 липня. 2009 рік
- Багатовимірний обчислення. Джеймс Стюарт. Cengage Learning, 22 березня 2011 рік
- Неформальна історія теорії Гріна та пов'язані з цим ідеї. Джеймс Джозеф Крос. Кафедра математики Мельбурнського університету, 1975р
- Теплопровід за допомогою функцій зелених. Кевін Д. Коул, Джеймс В. Бек, А. Хаджі-шейх, Бахман Літкухі. Тейлор і Френсіс, 16 липня 2010 рік
- Застосування теореми Гріна до екстремізації лінійних інтегралів. Технічний інформаційний центр оборони, 1961