ТЕОРЕМА МОЙРЕ: ДОВЕДЕННЯ ТА РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Теорема Муавра прикладної алгебри фундаментальних процесів, такі , як повноваження і вилучення коренів в комплексних числах. Теорему висловив відомий французький математик Абрахам де Мойвр (1730), який пов'язував складні числа з тригонометрією.

Авраам Моївр здійснив цю асоціацію через вирази синуса і косинуса. Цей математик створив своєрідну формулу, за допомогою якої можна підняти комплексне число z до потужності n, яке є додатним цілим числом, більшим або рівним 1.

Що таке теорема Муавра?

Теорема Мойре констатує наступне:

Якщо у нас є комплексне число в полярній формі z = r _Ɵ , де r - модуль комплексного числа z, а кут Ɵ називається амплітудою або аргументом будь-якого комплексного числа з 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, щоб обчислити його n– ту силу, не потрібно буде її множити на n-рази; тобто не потрібно робити наступний продукт:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-разів.

Навпаки, теорема говорить, що, записуючи z у його тригонометричній формі, для обчислення n-ї сили ми діємо так:

Якщо z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), то z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Наприклад, якщо n = 2, то z ² = r ² . Якщо n = 3, то z ³ = z ² _* z. Також:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

Таким чином можна отримати тригонометричні співвідношення синуса і косинуса для кратних кутів, доки відомі тригонометричні співвідношення кута.

Таким же чином його можна використовувати для пошуку більш точних і менш заплутаних виразів для n-го кореня комплексного числа z, так що z ⁿ = 1.

Для доведення теореми Моєва використовується принцип математичної індукції: якщо ціле число "a" має властивість "P", а якщо для будь-якого цілого числа "n" більше, ніж "a", що має властивість "P" Звідси випливає, що n + 1 також має властивість "P", тоді всі цілі числа, більші або рівні "a", мають властивість "P".

Демонстрація

Таким чином, доведення теореми робиться наступними кроками:

Індуктивна основа

Спочатку перевіряється на n = 1.

Оскільки z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , теорема виконується при n = 1.

Індуктивна гіпотеза

Формула вважається істинною для деякого додатного цілого числа, тобто n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Перевірка

Доведено, що вірно для n = k + 1.

Оскільки z ^{k + 1} = z ^k _* z, то z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Тоді вирази множать:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

На мить фактор r ^{k + 1} ігнорується , а загальний фактор i приймається:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Оскільки i ² = -1, то підставляємо його у виразі і отримуємо:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Тепер реальна частина і уявна частина впорядковані:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Для спрощення виразу для косинусів і синусів застосовуються тригонометричні тотожності суми кутів, які є:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

У цьому випадку змінними є кути Ɵ та kƟ. Застосовуючи тригонометричні тотожності, ми маємо:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = гріх (kƟ + Ɵ)

Таким чином, вираз:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Таким чином, можна було б показати, що результат справедливий для n = k + 1. За принципом математичної індукції робиться висновок, що результат справедливий для всіх натуральних чисел; тобто n ≥ 1.

Від’ємне ціле число

Теорема Мойвера також застосовується, коли n ≤ 0. Розглянемо від'ємне ціле число «n»; тоді "n" можна записати як "-m", тобто n = -m, де "m" - натуральне число. Таким чином:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Щоб отримати показник «m» позитивно, вираз записується обернено:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Тепер використовується те, що якщо z = a + b * i - комплексне число, то 1 ÷ z = ab * i. Таким чином:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Використовуючи це cos (x) = cos (-x) і що -sen (x) = sin (-x), ми маємо:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Таким чином, можна сказати, що теорема застосовується до всіх цілих значень "n".

Розв’язані вправи

Розрахунок позитивних сил

Однією з операцій зі складними числами в їх полярній формі є множення на два; у цьому випадку модулі множать і додаються аргументи.

Якщо у вас є два складних числа z _{1 і} z _2, і ви хочете обчислити (z ₁ * z ₂ ) ² , то поступайте так:

z ₁ z ₂ = *

Властивість розподілу застосовується:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Вони групуються, приймаючи термін "i" як загальний фактор виразів:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Оскільки i ² = -1, він заміщений у виразі:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Реальні терміни перегрупуються з реальними, а уявні - з уявними:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Нарешті, застосовуються тригонометричні властивості:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

На закінчення:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Вправа 1

Запишіть комплексне число в полярній формі, якщо z = - 2 -2i. Потім, використовуючи теорему Моєвра, обчисліть z ⁴ .

Рішення

Комплексне число z = -2 -2i виражається у прямокутній формі z = a + bi, де:

a = -2.

b = -2.

Знаючи, що полярна форма z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), нам потрібно визначити значення модуля "r" та значення аргументу "Ɵ". Оскільки r = √ (a² + b²), задані значення підміняються:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Потім для визначення значення «Ɵ» застосовується прямокутна форма цього, що задається формулою:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Оскільки tan (Ɵ) = 1 і маємо <0, то маємо:

Ɵ = арктан (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Оскільки значення «r» і «Ɵ» вже отримано, комплексне число z = -2 -2i можна виразити в полярній формі, замінивши значення:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Тепер ми використовуємо теорему Муавра для обчислення z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Вправа 2

Знайдіть добуток складних чисел, виразивши його в полярній формі:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Тоді обчисліть (z1 * z2) ².

Рішення

Спочатку формується добуток заданих чисел:

z ₁ z ₂ = *

Потім модулі множуються між собою, і додаються аргументи:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Вираз спрощено:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Нарешті, теорема Моєва застосовується:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Розрахунок негативних сил

Для поділу двох складних чисел z _{1 і} z ₂ у їх полярній формі модуль ділиться і аргументи віднімаються. Таким чином, коефіцієнт дорівнює z ₁ ÷ z ₂ і виражається так:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Як і в попередньому випадку, якщо ми хочемо обчислити (z1 ÷ z2) ³, спочатку проводиться ділення, а потім використовується теорема Моєвра.

Вправа 3

Кубики:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

обчислити (z1 ÷ z2) ³.

Рішення

Дотримуючись описаних вище кроків, можна зробити висновок, що:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Список літератури

1. Артур Гудман, LH (1996). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
2. Краучер, М. (другий). З теореми Moivre для трійкових ідентичностей. Проект демонстрації Вольфрама.
3. Hazewinkel, M. (2001). Енциклопедія математики.
4. Макс Петерс, штат Вашингтон (1972). Алгебра та тригонометрія.
5. Перес, CD (2010). Пірсон освіта.
6. Стенлі, Г. (другий). Лінійна алгебра. Graw-Hill.
7. , М. (1997). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.