ТЕССЕЛЯЦІЇ: ХАРАКТЕРИСТИКА, ТИПИ (РЕГУЛЯРНІ, НЕПРАВИЛЬНІ), ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

У Тайлінг є поверхнями з покриттям один або більше цифрами званої мозаїкою. Вони є скрізь: на вулицях і в будівлях усіх видів. Плитка або плитка - це плоскі шматки, як правило, багатокутники з конгруентними або ізометричними копіями, які розміщуються за звичайним малюнком. Таким чином, простір не залишається незакритим, і плитки або мозаїка не перекриваються.

У випадку, якщо використовується один тип мозаїки, утвореної правильним багатокутником, то існує регулярна тесселяція, але якщо використовуються два чи більше типів регулярних багатокутників, то це напіврегулярна тесселяція.

Рисунок 1. Плитка підлоги з неправильною тесселяцією, тому що прямокутники - це нерегулярні багатокутники, хоча квадрати є. Джерело: Pixabay.

Нарешті, коли багатокутники, які утворюють тесселяцію, не є регулярними, то це неправильна тесселяція.

Найпоширеніший тип тесселяції - це форма, утворена прямокутною і особливо квадратною мозаїкою. На малюнку 1 ми маємо хороший приклад.

Історія тесселяцій

Тесселяція використовується тисячами роками для покриття підлог і стін палаців і храмів різних культур і релігій.

Наприклад, шумерська цивілізація, що процвітала близько 3500 р. До н.е. на південь від Месопотамії, між річками Євфрат і Тигр, використовувала в своїй архітектурі тесселяції.

Малюнок 2. Шумерські тесселяції біля воріт Істар. Джерело: Wikimedia Commons.

Тесселяції також викликали інтерес математиків різного віку: починаючи з Архімеда в 3 столітті до нашої ери, за ним Йоганнеса Кеплера в 1619 році, Каміля Джордана в 1880 році, до сучасності з Роджером Пенроузом.

Пенроуз створив неперіодичну тесселяцію, відому як тесселяція Пенроуза. Це лише кілька імен вчених, які багато зробили для тесселяції.

Регулярні tessellations

Регулярні тесселяції виготовляються лише одним типом регулярного багатокутника. З іншого боку, щоб тесселяція вважалася регулярною, кожна точка площини повинна:

-Додовше до внутрішніх приміщень полігону

-До краю двох сусідніх многокутників

-Зрештою вона може належати до загальної вершини принаймні трьох многокутників.

З вищезазначеними обмеженнями можна показати, що лише рівносторонні трикутники, квадрати та шестикутники можуть утворювати звичайну тесселяцію.

Номенклатура

Існує номенклатура для позначення тесселяцій, яка складається з перерахування за годинниковою стрілкою і розділеної точкою, кількості сторін багатокутників, які оточують кожен вузол (або вершину) тесселяції, завжди починаючи з багатокутника з найменшим числом сторони.

Ця номенклатура застосовується до регулярних та напіврегулярних тесселяцій.

Приклад 1: Трикутна тесселяція

На малюнку 3 показана регулярна трикутна тесселяція. Слід зазначити, що кожен вузол трикутної тесселяції є загальною вершиною шести рівносторонніх трикутників.

Спосіб позначення цього типу тесселяції - це 3.3.3.3.3.3, що також позначається 3 ⁶ .

Малюнок 3. Правильна трикутна тесселяція 3.3.3.3.3.3. Джерело: wikimedia commons

Приклад 2: Площа тесселяції

На малюнку 4 показана звичайна тесселяція, складена лише з квадратів. Слід зазначити, що кожен вузол тесселяції оточений чотирма конгруентними квадратами. Позначення, яке застосовується до цього типу квадратної тесселяції, становить: 4.4.4.4 або альтернативно 4 ⁴

Малюнок 4. Квадратна тесселяція 4.4.4.4. Джерело: wikimedia commons.

Приклад 3: Гексагональна тесселяція

У шестикутній тесселяції кожен вузол оточений трьома правильними шестикутниками, як показано на малюнку 5. Номенклатура для звичайної шестикутної тесселяції становить 6.6.6 або альтернативно 6 ³ .

Малюнок 5. Гексагональна тесселяція 6.6.6. Джерело: wikimedia commons.

Напіврегулярні мозолі

Напіврегулярні або архімедові тесселяції складаються з двох або більше типів правильних багатокутників. Кожен вузол оточений типами багатокутників, які складають тесселяцію, завжди в одному порядку, а крайова умова повністю поділяється з сусідом.

Існує вісім напіврегулярних tessellations:

1. 3.6.3.6 (тришагова тістеляція)
2. 3.3.3.3.6 (тупа шестикутна тесселяція)
3. 3.3.3.4.4 (подовжена трикутна тесселяція)
4. 3.3.4.3.4 (тупа квадратна тесселяція)
5. 3.4.6.4 (ромбі-три-шестикутна тесселяція)
6. 4.8.8 (усічена квадратна tessellation)
7. 3.12.12 (усічена шестикутна тесселяція)
8. 4.6.12 (усічена три шестикутна тесселяція)

Деякі приклади напіврегулярних tessellations наведені нижче.

Приклад 4: Тришагональна тесселяція

Це той, який складається з рівносторонніх трикутників і правильних шестикутників у структурі 3.6.3.6, що означає, що вузол тесселяції оточений (до завершення одного витка) трикутником, шестикутником, трикутником і шестикутником. На малюнку 6 показана така тесселяція.

Малюнок 6. Тригексанальна тесселяція (3.6.3.6) є прикладом напіврегулярної тесселяції. Джерело: Wikimedia Commons.

Приклад 5: Тупа гексагональна тесселяція

Як і тесселяція в попередньому прикладі, і цей складається з трикутників і шестикутників, але їх розподіл навколо вузла 3.3.3.3.6. Фіг.7 наочно ілюструє цей тип тесселяції.

Малюнок 7. Тупий шестикутний тесселяція складається з шестикутника, оточеного 16 трикутниками в конфігурації 3.3.3.3.6. Джерело: Wikimedia Commons.

Приклад 6: ромбі-три-шестикутна тесселяція

Це tessellation, що складається з трикутників, квадратів і шестикутників у конфігурації 3.4.6.4, що показано на рисунку 8.

Малюнок 8. Напіврегулярна тесселяція, складена з трикутника, квадрата та шестикутника в конфігурації 3.4.6.4. Джерело: Wikimedia Commons.

Нерегулярні тесселяції

Нерегулярні тесселяції - це ті, які утворені неправильними багатокутниками, або регулярними багатокутниками, але не відповідають критерію, що вузол є вершиною щонайменше трьох многокутників.

Приклад 7

На малюнку 9 показаний приклад неправильної тесселяції, в якій всі багатокутники є правильними та конгруентними. Це нерегулярно, оскільки вузол не є загальною вершиною принаймні трьох квадратів, а також є сусідні квадрати, які не мають спільного краю.

Малюнок 9. Незважаючи на те, що всі плитки мають збіжні квадрати, це очевидний приклад неправильної тесселяції. Джерело: Ф. Сапата.

Приклад 8

Паралелограм укладає плоску поверхню, але, якщо це не квадрат, він не може утворювати звичайну тесселяцію.

Малюнок 10. Тесселяція, утворена паралелограмами, нерегулярна, оскільки її мозаїка є нерегулярними багатокутниками. Джерело: Ф. Сапата.

Приклад 9

Нерегулярні шестикутники з центральною симетрією тесселюють плоску поверхню, як показано на наступному малюнку:

Малюнок 11. Шестикутники з центральною симетрією навіть тоді, коли вони не є правильною площиною площини. Джерело: Ф. Сапата.

Приклад 10: тесселяція Каїра

Це дуже цікава тесселяція, складена з п’ятикутників зі сторонами однакової довжини, але з неоднаковими кутами, два з яких прямі, а інші три мають 120º.

Його назва походить від того, що ця тесселяція знайдена на тротуарі деяких вулиць Каїра в Єгипті. На малюнку 12 показана тесселяція Каїра.

Малюнок 12. Каїрська тесселяція. Джерело: Wikimedia Commons.

Приклад 11: Тесселяція Аль-Андалуса

Тесселяція в деяких районах Андалусії та Північної Африки характеризується геометрією та епіграфією, крім декоративних елементів, таких як рослинність.

Тесселяція палаців, таких як Альгамбра, складалася з плиток, складених з керамічних шматочків багатьох кольорів, з безліччю (якщо не нескінченною) форми, яка розв’язана геометричними візерунками.

Рисунок 13. Тесселяція палацу Альгамбра. Тарталія / Публічне надбання

Приклад 12: Тесселяція у відеоіграх

Також відомий як теселяція, це одна з найпопулярніших новинок у відеоіграх. Йдеться про створення текстур для імітації тесселяції різних сценаріїв, що з’являються в тренажері.

Це чітке відображення того, що ці покриття продовжують розвиватися, перетинаючи межі реальності.

Список літератури

1. Насолоджуйтесь математикою. Тесселяції. Відновлено з: enjomatematicas.com
2. Рубіньос. Приклади вирішили приклади. Відновлено з: matematicasn.blogspot.com
3. Вайштайн, Ерік В. "Деморегулярна тесселяція". Вайштайн, Ерік У., ред. MathWorld. Дослідження Вольфрама.
4. Вікіпедія. Тесселяція. Відновлено з: es.wikipedia.com
5. Вікіпедія. Регулярна тесселяція. Відновлено з: es.wikipedia.com