ІЗОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ: СКЛАД, ТИПИ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

В ізометричних перетвореннях є змінами положення або орієнтації даної фігури , які не змінюють форму або розмір цього. Ці перетворення класифікуються на три типи: переклад, обертання та відображення (ізометрія). Взагалі геометричні перетворення дозволяють створити нову фігуру із заданої.

Перетворення в геометричну фігуру означає, що вона, певним чином, зазнала певних змін; тобто це було змінено. За відчуттям оригіналу та подібного у площині геометричні перетворення можна класифікувати на три типи: ізометричні, ізоморфні та анаморфні.

характеристики

Ізометричні перетворення відбуваються при збереженні величин відрізків та кутів між початковою фігурою та перетвореною фігурою.

При цьому типі трансформації ні форма, ні розмір фігури не змінюються (вони є конгруентними), це лише зміна її положення, або в орієнтації, або в напрямку. Таким чином початкові та кінцеві фігури будуть подібними та геометрично збігаються.

Ізометрія відноситься до рівності; Іншими словами, геометричні фігури будуть ізометричними, якщо вони матимуть однакову форму та розмір.

В ізометричних перетвореннях єдине, що можна спостерігати, - це зміна положення в площині, відбувається жорсткий рух, завдяки якому фігура переходить від початкового положення до кінцевого. Ця фігура називається гомологічною (подібною) оригіналу.

Існує три типи рухів, які класифікують ізометричну трансформацію: переклад, обертання та відображення чи симетрія.

Типи

За перекладом

Це ті ізометри, які дозволяють переміщувати всі точки площини по прямій у заданому напрямку та відстані.

Коли фігура перетворюється за допомогою перекладу, вона не змінює свою орієнтацію щодо вихідної позиції, а також не втрачає своїх внутрішніх заходів, мір її кутів та сторін. Цей тип переміщення визначається трьома параметрами:

- Один напрямок, який може бути горизонтальним, вертикальним або косим.

- Один напрямок, який може бути вліво, вправо, вгору або вниз.

- Відстань або величина, яка є довжиною від початкового положення до кінця будь-якої точки, яка рухається.

Щоб ізометричне перетворення шляхом перекладу було виконане, повинні бути виконані наступні умови:

- Фігура завжди повинна зберігати всі її розміри, як лінійні, так і кутові.

- Фігура не змінює свого положення стосовно горизонтальної осі; тобто його кут ніколи не змінюється.

- Переклади завжди будуть зведені в один, незалежно від кількості зроблених перекладів.

У площині, де центром є точка O, з координатами (0,0), переклад визначається вектором T (a, b), який вказує на зміщення початкової точки. Тобто:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Наприклад, якщо до точки координат P (8, -2) застосувати переклад T (-4, 7), отримаємо:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

На наступному зображенні (зліва) видно, як точка С перемістилася до збігу D. Це робило у вертикальному напрямку, напрямок був вгору, а відстань чи величина CD - 8 метрів. На правому зображенні спостерігається переклад трикутника:

За обертанням

Це ті ізометри, які дозволяють фігурі обертати всі точки площини. Кожна точка обертається за дугою, яка має постійний кут і визначається нерухома точка (центр обертання).

Тобто все обертання визначатиметься його центром обертання та кутом повороту. Коли фігура перетворюється обертанням, вона зберігає міру своїх кутів і сторін.

Обертання відбувається в певному напрямку, воно позитивне, коли обертання проти годинникової стрілки (протилежне напрямку до того, як обертаються руки годинника) і негативне, коли його обертання йде за годинниковою стрілкою.

Якщо точка (x, y) повертається відносно початку, тобто її центр обертання дорівнює (0,0) -, під кутом 90 ^або 360, ^або координати точок будуть:

У випадку, коли обертання не має центру біля початку, походження системи координат необхідно перенести на нове задане джерело, щоб мати можливість обертати фігуру з початком як центром.

Наприклад, якщо в точці P (-5,2) застосовано обертання на 90 ^або , навколо початку і позитивно, його нові координати становлять (-2,5).

За відображенням або симетрією

Це ті перетворення, які інвертують точки і фігури площини. Ця інверсія може бути відносно точки або може бути відносно лінії.

Іншими словами, при цьому типі перетворення кожна точка вихідної фігури пов'язана з іншою точкою (зображенням) однорідної фігури таким чином, що точка і її зображення знаходяться на однаковій відстані від лінії, що називається віссю симетрії. .

Таким чином, ліва частина фігури буде відображенням правої частини, не змінюючи її форми чи розмірів. Симетрія перетворює фігуру в іншу рівну, але в зворотному напрямку, як видно з наступного зображення:

Симетрія присутня в багатьох аспектах, наприклад, у деяких рослин (соняшник), тварин (павич) та природних явищ (сніжинки). Людина відображає це на своєму обличчі, яке вважається фактором краси. Відображення або симетрія можуть бути двох типів:

Центральна симетрія

Це те перетворення, яке відбувається відносно точки, в якій фігура може змінити свою орієнтацію. Кожна точка оригінальної фігури та її зображення знаходяться на однаковій відстані від точки O, яку називають центром симетрії. Симетрія є центральною, коли:

- І точка, і її зображення, і центр належать одній прямій.

- При обертанні на 180 ^o від центру O виходить цифра, рівна оригіналу.

- Лінії початкової фігури паралельні лініям сформованої фігури.

- Відчуття фігури не змінюється, воно завжди буде за годинниковою стрілкою.

Склад обертання

Склад двох оборотів з однаковим центром призводить до іншого витку, який має той же центр, а амплітуда якого буде сумою амплітуд двох оборотів.

Якщо центр витків має інший центр, то розріз бісектриси двох відрізків подібних точок буде центром повороту.

Склад симетрії

У цьому випадку склад буде залежати від способу його застосування:

- Якщо однакову симетрію застосовувати двічі, результатом буде ідентичність.

- Якщо застосувати дві симетрії відносно двох паралельних осей, результатом буде переклад, і його зміщення вдвічі більше відстані цих осей:

- Якщо застосувати дві симетрії відносно двох осей, які перетинаються в точці O (центр), вийде обертання з центром в O, і його кут буде вдвічі більшим за кут, утворений осями:

Список літератури

1. V Bourgeois, JF (1988). Матеріали для побудови геометрії. Мадрид: Синтез.
2. Сезар Калавера, IJ (2013). Технічний креслення II. Paraninfo SA: Видання Вежі.
3. Coxeter, H. (1971). Основи геометрії. Мексика: Лімуса-Вілі.
4. Коксфорд, А. (1971). Геометрія Трансформаційний підхід. США: Брати Лейдлав.
5. Ліліана Сіньєріз, РС (2005). Індукція та формалізація у навчанні жорстких перетворень у середовищі CABRI.
6. , PJ (1996). Група ізометрій площини. Мадрид: Синтез.
7. Суарес, AC (2010). Перетворення в площині. Гурабо, Пуерто-Рико: AMCT.