ТРАПЕЦІЯ ЗІ СКАЛЕНОМ: ВЛАСТИВОСТІ, ФОРМУЛИ ТА РІВНЯННЯ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Нерівносторонні трапеція є багатокутник з чотирьох сторін, два з яких розташовані паралельно один одному, і з чотирма внутрішніми кутами різних заходів.

Нижче показано чотирикутник ABCD, де сторони AB і DC паралельні одна одній. Цього достатньо, щоб вона була трапецією, але також внутрішні кути α, β, γ і δ всі різні, тому трапеція є скаленою.

Рисунок 1. Чотирикутник ABCD - трапеція за умовою 1 та шкалою за умовою 2. Джерело: Ф. Сапата.

Елементи масштабної трапеції

Ось найбільш характерні елементи:

-Основи і сторони: паралельні сторони трапеції є її основами, а дві непаралельні сторони - сторони.

У масштабній трапеції основи мають різну довжину, а також бічні. Однак масштабна трапеція може мати бічну сторону, рівну довжині до основи.

-Медіан: це відрізок, що з'єднує середини бічних.

-Діагоналі: діагональ трапеції - це відрізок, що з'єднує дві протилежні вершини. Трапеція, як і кожен чотирикутник, має дві діагоналі. У масштабній трапеції вони різної довжини.

Інші трапеції

Крім масштабної трапеції, існують і інші особливі трапеції: права трапеція та рівнобедрена трапеція.

Трапеція - це прямокутник, коли один з його кутів є правим, тоді як рівнобедрена трапеція має сторони однакової довжини.

Форма трапеції має численні сфери застосування на рівні дизайну та промисловості, наприклад, у конфігурації крил літака, формі предметів побуту, таких як столи, спинки крісла, упаковка, портмоне, текстильні відбитки тощо.

Малюнок 2. Трапецієподібна форма поширена в конфігурації крила літаків. Джерело: Wikimedia Commons.

Властивості

Властивості масштабної трапеції перераховані нижче, багато з яких поширюються на інші види трапеції. Далі, коли йдеться про "трапецію", властивість застосовуватиметься до будь-якого типу, включаючи масштаб.

1. Медіана трапеції, тобто відрізка, що з'єднує середини його непаралельних сторін, паралельна будь-якій з основ.

2. - Медіана трапеції має довжину, що є півсумою довжини її основи, і вирізає її діагоналі в середній точці.

3.— Діагоналі трапеції перетинаються в точці, яка розділяє їх на два відрізки, пропорційні часткам основ.

4.- Сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів її сторін плюс подвійний добуток її основ.

5.- Відрізок, який приєднується до середини точок діагоналей, має довжину, рівну половинній різниці основ.

6.- Кути, прилеглі до бічних, є додатковими.

7.- У масштабній трапеції довжини її діагоналей різні.

8.- Трапеція має вписане окружність лише у тому випадку, якщо сума її основ дорівнює сумі її сторін.

9.- Якщо трапеція має вписане окружність, то кут з вершиною в центрі зазначеної окружності і сторони, що проходять через кінці сторони трапеції, прямий.

10.- Шкала трапеції не має описаного кола, єдиний тип трапеції - рівнобедрений.

Формули та рівняння

На наступному малюнку посилаються такі співвідношення масштабної трапеції.

1.- Якщо AE = ED і BF = FC → EF - AB і EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, тобто: m = (a + c) / 2.

3. ДІ = IB = d ₁ /2 і АГ = ГХ = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) аналогічно CJ / JA = (c / a).

Малюнок 3. Медіана та діагоналі масштабної трапеції. Джерело: Ф. Сапата.

5.– DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Рівнозначно:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Тобто:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ і β + γ = 180⁰

8.- Якщо α ≠ β ≠ γ ≠ δ, то d1 ≠ d2.

9.- На малюнку 4 показано масштабну трапецію, яка має вписане коло, в цьому випадку вірно, що:

a + c = d + b

10.- У масштабній трапеції ABCD з вписаною окружністю центру O також вірно:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Малюнок 4. Якщо в трапеції перевірено, що сума його основ дорівнює сумі бічних, то вписане в неї окружність. Джерело: Ф. Сапата.

Висота

Висота трапеції визначається як відрізок, який йде від точки основи перпендикулярно до протилежної основи (або її подовження).

Всі висоти трапеції мають однакові вимірювання h, тому більшість часу слово висота стосується її вимірювання. Коротше кажучи, висота - це відстань або поділ між базами.

Висоту h можна визначити, знаючи довжину однієї сторони та одного з кутів, прилеглих до сторони:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Середня

Міра m медіани трапеції - це напівсума основ:

m = (a + b) / 2

Діагоналі

d ₁ = √

d ₂ = √

Його можна також обчислити, якщо відома лише довжина сторін трапеції:

d ₁ = √

d ₂ = √

По периметру

Периметр - загальна довжина контуру, тобто сума всіх його сторін:

P = a + b + c + d

Площа

Площа трапеції - це напівсума її підстав, помножена на її висоту:

A = h ∙ (a + b) / 2

Його можна також обчислити, якщо відома медіана m і висота h:

A = m ∙ h

Якщо відома лише довжина сторін трапеції, площу можна визначити, використовуючи формулу Герона для трапеції:

A = ∙ √

Де s - напівперметр: s = (a + b + c + d) / 2.

Інші співвідношення для масштабної трапеції

Перетин медіани з діагоналями і паралель, яка проходить через перетин діагоналей, породжує інші відносини.

Малюнок 5. Інші співвідношення для масштабної трапеції. Джерело: Ф. Сапата.

-Зв'язки для середньої EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Зв’язки для відрізка, паралельного основам KL, і проходження через точку перетину J діагоналей

Якщо KL - AB - DC з J ∈ KL, то KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Побудова масштабної трапеції з лінійкою та компасом

Враховуючи основи довжин a і c, де a> cy зі сторонами довжин b і d, де b> d, виконайте такі дії (див. Рисунок 6):

1.- За правилом малюється відрізок основного АВ.

2.- Від A se і на AB позначте точку P так, що AP = c.

3.- За допомогою циркуля з центром у P та радіусом d намалюється дуга.

4.- У центрі B робимо радіус b, малюючи дугу, яка перехоплює дугу, намальовану на попередньому кроці. Назвемо Q точкою перетину.

Рисунок 6. Побудова масштабної трапеції з урахуванням її сторін. Джерело: Ф. Сапата.

5.— За допомогою центру в А намалюйте дугу радіусом d.

6.— За допомогою центру в Q намалюйте дугу радіусом c, яка перехоплює дугу, намальовану на попередньому кроці. Точка відсічення буде називатися Р.

7.- Відрізки BQ, QR і RA малюються лінійкою.

8.- Чотирикутник ABQR - масштабна трапеція, оскільки APQR - паралелограм, який гарантує, що AB - QR.

Приклад

У см наведено такі довжини: 7, 3, 4 та 6.

а) Визначте, чи з ними можна побудувати масштабну трапецію, яка може обвести коло.

б) Знайдіть периметр, площу, довжину діагоналей та висоту зазначеної трапеції, а також радіус вписаного кола.

- Рішення для

Використовуючи відрізки довжини 7 і 3 як основи, а довжини 4 і 6 як сторони, масштабну трапецію можна побудувати за допомогою процедури, описаної в попередньому розділі.

Залишилося перевірити, чи має він вписане окружність, але запам'ятавши властивість (9):

Ми це ефективно бачимо:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Тоді умова існування вписаного окружності виконується.

- Розв’язання b

По периметру

Периметр Р одержують додаванням сторін. Оскільки основи складають до 10, а бічні також, по периметру:

Р = 20 див

Площа

Для визначення області, відомої лише її сторонами, застосовується співвідношення:

A = ∙ √

Де s - напівперметр:

s = (a + b + c + d) / 2.

У нашому випадку напівперметр стоїть s = 10 див. Після заміни відповідних значень:

а = 7 см; b = 6 см; c = 3 см; d = 4 див

Залишки:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 см².

Висота

Висота h пов'язана з площею A наступним виразом:

A = (a + c) ∙ h / 2, з якого висоту можна отримати, очистивши:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 см.

Радіус вписаного кола

Радіус вписаного кола дорівнює половині висоти:

r = h / 2 = 1,984 см

Діагоналі

Нарешті знаходимо довжину діагоналей:

d ₁ = √

d ₂ = √

Правильно замінюючи значення, які ми маємо:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Тобто: d ₁ = 4,69 см і d ₂ = 8,49 див

Рисунок 7. Трапеція зі скаленом, що відповідає умові існування вписаного кола. Джерело: Ф. Сапата.

Вправа вирішена

Визначте внутрішні кути трапеції з основами AB = a = 7, CD = c = 3 та бічними кутами BC = b = 6, DA = d = 4.

Рішення

Для визначення кутів може застосовуватися теорема косинусів. Наприклад, кут ∠A = α визначається з трикутника ABD з AB = a = 7, BD = d2 = 8.49 і DA = d = 4.

Теорема косинусів, застосована до цього трикутника, виглядає приблизно так:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), тобто:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Вирішуючи для, косинус кута α отримують:

Cos (α) = -1/8

Тобто α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Інші кути отримують аналогічно, їх значення:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ і нарешті δ = 82,82.8.

Список літератури

1. CEA (2003). Елементи геометрії: з вправами та геометрією циркуля. Університет Медельїна.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Математика 2. Групова редакційна патрія.
3. Фрід, К. (2007). Відкрийте для себе багатокутники. Benchmark Education Company.
4. Гендрик, В. (2013). Узагальнені багатокутники. Birkhäuser.
5. ІГЕР. (sf). Математика Перший семестр Tacaná. ІГЕР.
6. Молодша геометрія (2014). Полігони. Lulu Press, Inc.
7. Міллер, Херен та Хорнсбі. (2006). Математика: міркування та програми (десяте видання). Пірсон освіта.
8. Патіньо, М. (2006). Математика 5. Редакційний прогрес.
9. Вікіпедія. Трапеція. Відновлено з: es.wikipedia.com