НЕКОПЛАНАРНІ ВЕКТОРИ: ВИЗНАЧЕННЯ, УМОВИ, ВПРАВИ - ФІЗИЧНІ - 2025

В НЕ - вектори планарних є ті , які не поділяють ту ж площину. Два вільних вектора і точка визначають одну площину. Третій вектор може або не може поділяти цю площину, і якщо цього не відбувається, вони є не копланарними векторами.

Некопланарні вектори не можуть бути представлені в двовимірних просторах, як дошка або аркуш паперу, оскільки деякі з них містяться в третьому вимірі. Щоб правильно їх представити, ви повинні використовувати перспективу.

Рисунок 1. Копланарний та некопланарний вектори. (Власна розробка)

Якщо ми подивимось на малюнок 1, всі показані об'єкти знаходяться строго в площині екрана, однак, завдяки перспективі, наш мозок здатний уявити площину (P), що виходить з нього.

На цій площині (P) вектори r , s , u , тоді як вектори v і w не знаходяться в цій площині.

Тому вектори r , s , u є копланарними або копланарними один з одним, оскільки вони ділять одну площину (P). Вектори v і w не ділять площину з жодним з інших показаних векторів, тому вони не є копланарними.

Копланарні вектори та рівняння площини

Площина однозначно визначена, якщо в тривимірному просторі є три точки.

Припустимо, що ці три точки - точка А, точка В і точка С, які визначають площину (Р). За допомогою цих точок можна побудувати два вектори AB = u та AC = v , які будуються копланарними з площиною (P).

Векторний добуток (або поперечний добуток) цих двох векторів призводить до отримання третього вектора, перпендикулярного (або нормального) до них і, отже, перпендикулярного до площини (P):

n = u X v => n ⊥ u і n ⊥ v => n ⊥ (P)

Будь-яка інша точка, що належить площині (P), повинна задовольняти, що вектор AQ перпендикулярний вектору n ; Це еквівалентно тому, що крапковий добуток (або крапковий добуток) n з AQ повинен дорівнювати нулю:

n • AQ = 0 (*)

Попередня умова еквівалентна тому, що:

AQ • ( u X v ) = 0

Це рівняння гарантує, що точка Q належить площині (P).

Декартове рівняння площини

Наведене рівняння можна записати в декартовій формі. Для цього записуємо координати точок A, Q та компонентів нормального вектора n :

Отже, компонентами AQ є:

Умовою, що вектор AQ міститься в площині (P), є умовою (*), яка тепер записується так:

Розрахунок залишився крапкового продукту:

Якщо він розроблений і переставлений, він залишається:

Попередній вираз - декартово рівняння площини (P), як функція компонентів вектора, нормальних до (P), і координат точки A, що належить (P).

Умови, щоб три вектори були не копланарними

Як видно з попереднього розділу, умова AQ • ( u X v ) = 0 гарантує, що вектор AQ є копланарним до u та v .

Якщо ми називаємо вектор AQ w, то можемо підтвердити, що:

w , u і v є копланарними, якщо і тільки тоді, коли w • ( u X v ) = 0.

Умова некопланарності

Якщо потрійний продукт (або змішаний продукт) трьох векторів відрізняється від нуля, то ці три вектори не є копланарними.

Якщо w • ( u X v ) ≠ 0, то вектори u, v і w є не копланарними.

Якщо вводяться декартові компоненти векторів u, v і w, умова некопланарності можна записати так:

Потрійний добуток має геометричну інтерпретацію і являє собою об'єм паралелепіпеда, сформованого трьома неоплановими векторами.

Малюнок 2. Три некопланарні вектори визначають паралелепіпед, об’єм якого - модуль потрійного добутку. (Власна розробка)

Причина така: Коли два некопланарних вектора множиться векторіально, виходить вектор, величина якого - площа паралелограма, який вони генерують.

Тоді, коли цей вектор скалярно множиться на третій некопланарний вектор, у нас є проекція на вектор, перпендикулярний площині, який перші два визначають, помножені на площу, яку вони визначають.

Іншими словами, у нас є площа паралелограма, породжена першими двома, помноженими на висоту третього вектора.

Альтернативна умова некопланарності

Якщо у вас є три вектори, і жоден з них не може бути записаний як лінійна комбінація двох інших, то три вектори не є копланарними. Тобто три вектори u , v і w є неопланарними, якщо умова:

α u + β v + γ w = 0

Він задоволений лише тоді, коли α = 0, β = 0 і γ = 0.

Розв’язані вправи

-Вправа 1

Є три вектори

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) і w = (-1, 2, z)

Зауважимо, що компонент z вектора w невідомий.

Знайдіть діапазон значень, який z може прийняти таким, що три вектори гарантовано не поділяють однакову площину.

Рішення

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Поставимо цей вираз рівний нулю

21 z + 18 = 0

і ми вирішуємо для z

z = -18 / 21 = -6/7

Якби змінна z приймала значення -6/7, то три вектори були б копланарними.

Тож значення z, які гарантують, що вектори не є копланарними, є значеннями на наступному інтервалі:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Вправа 2

Знайдіть об'єм паралелепіпеда, показаний на наступному малюнку:

Рішення

Щоб знайти об'єм паралелепіпеда, показаного на рисунку, будуть визначені декартові компоненти трьох одночасних некопланарних векторів на початку координатної системи. Перший - вектор u 4м і паралельний осі X:

u = (4, 0, 0) m

Другий - вектор v у площині XY розміром 3м, який утворює 60º з віссю X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Третє - вектор w 5м і проекція якого в площині XY утворює 60º з віссю X, крім того w утворює 30º з віссю Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Після проведення обчислень маємо: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Список літератури

1. Фігероа, Д. Серія: Фізика для наук та техніки. Том 1. Кінематика. 31-68.
2. Фізичні. Модуль 8: Вектори. Відновлено з: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Механіка для інженерів. Статичний 6-е видання. Континентальна видавнича компанія.- 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Механіка для інженерів: статика та динаміка. 3-е видання. McGraw Hill. 1-15.
5. Вікіпедія. Вектор. Відновлено з: es.wikipedia.org