ДУГА (ГЕОМЕТРІЯ): МІРА, ВИДИ ДУГ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Дуги , в геометрії, будь-яка вигнута лінія , яка з'єднує дві точки. Вигнута лінія, на відміну від прямої, є тією, напрямок якої в кожній точці на ній різний. Протилежні дузі є відрізком, оскільки це прямий відрізок, який з'єднує дві точки.

Дуга, яка найчастіше використовується в геометрії, - це дуга окружності. Інші дуги, що мають загальне використання, - це параболічна арка, еліптична арка та канальна арка. Аркова форма також часто використовується в архітектурі як декоративний елемент і структурний елемент. Це стосується перемичок дверей та вікон, а також мостів та акведуків.

Малюнок 1. Веселка - це вигнута лінія, яка з'єднує дві точки на горизонті. Джерело: Піксабай

Арка та її міра

Міра дуги - її довжина, яка залежить від типу кривої, що з'єднує дві точки, та їх розташування.

Довжина кругової дуги є однією з найпростіших для обчислення, оскільки відома довжина повної дуги або периметра окружності.

Периметр кола в два пі разів перевищує його радіус: p = 2 π R. Знаючи це, якщо ми хочемо обчислити довжину s кругової дуги кута α (вимірюється в радіанах) і радіуса R, застосовується пропорція:

(s / p) = (α / 2 π)

Тоді, очистивши s від попереднього виразу і замінивши периметр p на його вираз як функцію радіуса R, маємо:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Тобто мірою кругової дуги є добуток її кутового отвору, кратного на радіус кругової дуги.

Для арки загалом проблема є більш складною, до того, що великі мислителі античності стверджували, що це неможливе завдання.

Лише до появи диференціального та інтегрального числення в 1665 році проблема вимірювання будь-якої дуги була задовільно вирішена.

До винаходу диференціального обчислення рішення можна було знайти лише за допомогою полігональних ліній або округ дуг, які наближали до справжньої дуги, але ці рішення не були точними.

Види луків

З точки зору геометрії дуги класифікуються за вигнутою лінією, яка з'єднує дві точки на площині. Існують і інші класифікації за його використанням та архітектурною формою.

Кругова дуга

Коли лінія, що з'єднує дві точки в площині, є частиною окружності певного радіуса, у нас кругла дуга. На малюнку 2 показана кругла дуга c радіусом R, що з'єднує точки A і B.

Малюнок 2. Кругова дуга радіусом R, яка з'єднує точки A і B. Розроблена Рікардо Пересом.

Параболічна арка

Парабола - це шлях, яким слідує предмет, косо викинутий у повітря. Коли крива, що з'єднує дві точки, є параболою, то у нас є параболічна дуга, як показана на рисунку 3.

Малюнок 3. Параболічна дуга, що з'єднує точки A і B. Розроблена Рікардо Пересом.

Це форма струменя води, що виходить із шланга, спрямованого вгору. Параболічна дуга може спостерігатися у джерелах води.

Малюнок 4. Параболічна арка, утворена водою з фонтану в Дрездені. Джерело: Pixabay.

Катенарна арка

Катенарна арка - ще одна природна арка. Катерина - це крива, яка утворюється природним чином, коли ланцюг або мотузка вільно висить з двох окремих точок.

Малюнок 5. Катенарна арка та порівняння з параболічною аркою. Підготував Рікардо Перес.

Катерина схожа на параболу, але вона не зовсім така, як це можна побачити на малюнку 4.

Перевернута канальна арка використовується в архітектурі як структурний елемент з високою міцністю на стиск. Насправді це може бути показаний найсильніший тип лука серед усіх можливих форм.

Щоб побудувати суцільну арку з котенера, просто скопіюйте форму підвісної мотузки або ланцюжка, потім скопійовану форму переверніть, щоб відтворити її на підвісці дверей чи вікон.

Еліптична арка

Дуга еліптична, якщо крива, яка з'єднує дві точки, є частиною еліпса. Еліпс визначається як місце розташування точок, відстань до двох заданих точок завжди дорівнює постійній величині.

Еліпс - це крива, яка з'являється в природі: це крива траєкторії планет навколо Сонця, як це продемонстрував Йоханнес Кеплер у 1609 році.

На практиці еліпс можна намалювати, прикріпивши дві підкоси до землі або два шпильки на аркуші паперу і прив’язавши до них струну. Потім мотузку натягують маркером або олівцем, і крива простежується. Шматок еліпса - це еліптична дуга. Наступна анімація ілюструє, як намальований еліпс:

Малюнок 5. Простеження еліпса за допомогою підтягнутої мотузки. Джерело: Wikimedia Commons

На малюнку 6 показані еліптичні дуги, що з'єднують точки G і H.

Малюнок 6. Еліптична арка, що з'єднує дві точки. Підготував Рікардо Перес.

Приклади арок

Наступні приклади стосуються того, як обчислити периметр деяких конкретних дуг.

Приклад 1

На малюнку 7 показано вікно, закінчене вирізаною круглою дугою. Розміри, показані на малюнку, виражені в футах. Знайдіть довжину дуги.

Рисунок 7. Розрахунок довжини кругової дуги вікна. (Власні анотації - зображення вікна на Pixabay)

Для отримання центру та радіуса кругової дуги віконної перемички на зображенні виготовляються такі конструкції:

-Накреслений відрізок KL і намальований його бісектриса.

-Тоді розташована найвища точка перемикача, яку ми називаємо М. Далі розглядають сегмент КМ і простежують його медіатрицю.

Перехоплення двох бісектрис - точка N, а також це центр кругової дуги.

-Зараз ми повинні виміряти довжину відрізка NM, що збігається з радіусом R кругової дуги: R = 2,8 футів.

-Щоб знати довжину дуги, крім радіуса, необхідно знати кут, який утворює дуга. Який можна визначити двома методами, або він вимірюється за допомогою транспортира, або альтернативно він обчислюється за допомогою тригонометрії.

У наведеному випадку кут, утворений дугою, становить 91,13º, який необхідно перетворити на радіани:

91.13º = 91.13º * π / 180º = 1,59 радіана

Нарешті обчислюємо довжину s дуги за формулою s = α R.

s = 1,59 * 2,8 футів = 4,45 фута

Приклад 2

Знайдіть довжину еліптичної дуги, показану на рисунку 8, знаючи напівмайорну вісь r та напівмалу вісь s еліпса.

Малюнок 8. Еліптична арка між GH. Підготував Рікардо Перес.

Пошук довжини еліпса був однією з найскладніших проблем математики протягом тривалого часу. Ви можете отримати рішення, виражені еліптичними інтегралами, але щоб мати числове значення, ви повинні розширити ці інтеграли в рядах потужностей. Точний результат вимагає нескінченних термінів цих рядів.

На щастя, індуїстський математичний геній Рамануджан, який жив між 1887 і 1920 роками, знайшов формулу, яка дуже точно наближає периметр еліпса:

Периметр еліпса з r = 3 см і s = 2,24 см становить 16,55 див. Однак показана еліптична дуга має половину цієї величини:

Довжина еліптичної дуги GH = 8,28 див.

Список літератури

1. Клеменс С. 2008. Геометрія та тригонометрія. Пірсон освіта.
2. Гарсія Ф. Числові процедури на Яві. Довжина еліпса. Відновлено з: sc.ehu.es
3. Динамічна геометрія. Луки. Відновлено з geometriadinamica.es
4. Пізіади. Еліпси та параболи навколо нас. Відновлено з: piziadas.com
5. Вікіпедія. Арка (геометрія). Відновлено з: es.wikipedia.com