ЕМПІРИЧНЕ ПРАВИЛО: ЯК ЙОГО ЗАСТОСУВАТИ, ДЛЯ ЧОГО ЦЕ, ВИРІШЕНІ ВПРАВИ - ДУДИ - 2025

Велике правило - результат практичного досвіду та реального спостереження. Наприклад, можна дізнатися, які види птахів можна спостерігати в певних місцях у кожну пору року, і з цього спостереження може бути встановлено "правило", яке описує життєві цикли цих птахів.

У статистиці емпіричне правило посилається на те, як спостереження групуються навколо центрального значення, середнього або середнього, в одиницях стандартного відхилення.

Припустимо, що у вас є група людей із середньою висотою 1,62 метра та стандартним відхиленням 0,25 метра, то емпіричне правило дозволило б нам визначити, наприклад, скільки людей було б в інтервалі середнього плюс-мінус одне стандартне відхилення?

Згідно з правилом, 68% даних - це більш-менш одне стандартне відхилення від середнього, тобто 68% людей у ​​групі матимуть висоту між 1,37 (1,62-0,25) та 1,87 (1,62 + 0,25 ) метрів.

Звідки походить емпіричне правило?

Емпіричне правило - це узагальнення теореми Чебишева та нормального розподілу.

Теорема Чебишева

Теорема Чебишева говорить про те, що: при деякому значенні k> 1 ймовірність того, що випадкова величина лежить між середнім мінусом k разів від стандартного відхилення, і середнім значенням плюс k разів, стандартне відхилення більше або дорівнює ( 1 - 1 / k ² ).

Перевага цієї теореми полягає в тому, що вона застосовується до дискретних або безперервних випадкових величин з будь-яким розподілом ймовірностей, але правило, визначене з неї, не завжди є дуже точним, оскільки це залежить від симетрії розподілу. Чим більше асиметричний розподіл випадкової величини, тим менш пристосованим до правила буде її поведінка.

Емпіричне правило, визначене з цієї теореми, це:

Якщо k = √2, 50% даних, як кажуть, знаходяться в інтервалі:

Якщо k = 2, 75% даних, як кажуть, знаходяться в інтервалі:

Якщо k = 3, 89% даних, як кажуть, знаходиться в інтервалі:

Нормальний розподіл

Нормальний розподіл, або гауссовий дзвін, дозволяє встановити емпіричне правило або правило 68 - 95 - 99.7.

Правило засноване на ймовірності виникнення випадкової величини в інтервалах між середнім мінусом один, два чи три стандартні відхилення та середнім значенням плюс одне, два чи три стандартних відхилення.

Емпіричне правило визначає такі інтервали:

68,27% даних знаходяться в інтервалі:

95,45% даних знаходяться в інтервалі:

99,73% даних знаходиться в інтервалі:

На малюнку ви можете бачити, як представлені ці інтервали та співвідношення між ними при збільшенні ширини основи графіка.

Емпіричне правило. Мелікамп Стандартизація випадкової величини, тобто вираження випадкової величини через z або стандартну звичайну змінну, спрощує використання емпіричного правила, оскільки змінна z має середнє значення, рівне нулю, а стандартне відхилення, рівне одиниці .

Тому застосування емпіричного правила в масштабі стандартної нормальної змінної, z, визначає такі інтервали:

68,27% даних знаходяться в інтервалі:

95,45% даних знаходяться в інтервалі:

99,73% даних знаходиться в інтервалі:

Як застосувати емпіричне правило?

Емпіричне правило дозволяє скоротити обчислення при роботі з нормальним розподілом.

Припустимо, що група зі 100 студентів коледжу має середній вік 23 років, із стандартним відхиленням 2 роки. Яку інформацію дозволяє отримати емпіричне правило?

Застосування емпіричного правила передбачає виконання наступних кроків:

1- Побудуйте інтервали правила

Оскільки середнє значення становить 23, а стандартне відхилення - 2, то інтервали становлять:

= =

= =

= =

2- Обчисліть кількість учнів у кожному інтервалі відповідно до відсотків

(100) * 68,27% = приблизно 68 учнів

(100) * 95,45% = 95 учнів приблизно

(100) * 99,73% = приблизно 100 учнів приблизно

3- Вікові інтервали пов'язані з кількістю учнів та інтерпретують

Щонайменше 68 учнів віком від 21 до 25 років.

Щонайменше 95 студентів віком від 19 до 27 років.

Майже 100 студентів віком від 17 до 29 років.

Для чого важливе правило?

Емпіричне правило - це швидкий і практичний спосіб аналізу статистичних даних, стаючи все більш надійним, коли розподіл наближається до симетрії.

Його корисність залежить від сфери, в якій він використовується, та питань, що подаються. Дуже корисно знати, що виникнення значень трьох стандартних відхилень нижче або вище середнього малоймовірне, навіть для ненормальних змінних розподілу принаймні 88,8% випадків знаходяться в інтервалі трьох сигм.

У суспільних науках загалом переконливим результатом є діапазон середнього плюс-мінус дві сигми (95%), тоді як у фізиці частинок для нового ефекту потрібно п'ять сигма-інтервал (99,99994%), щоб вважати відкриттям.

Розв’язані вправи

Кролики в заповіднику

У заповіднику дикої природи підраховано, що тут в середньому 16000 кроликів із середнім відхиленням 500 кроликів. Якщо розподіл змінної «кількість кролів у заповіднику» невідомий, чи можна оцінити ймовірність того, що популяція кроликів становить від 15 000 до 17 000 кроликів?

Інтервал можна подати в таких умовах:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 с

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 с

Тому: =

Застосовуючи теорему Чебишева, ми маємо ймовірність принаймні 0,75, що популяція кроликів у заповіднику дикої природи становить від 15 000 до 17 000 кроликів.

Середня вага дітей в країні

Середня вага однорічних дітей у країні зазвичай розподіляється із середнім значенням 10 кілограмів та стандартним відхиленням приблизно 1 кілограм.

а) Оцініть відсоток однорічних дітей у країні, які мають середню вагу від 8 до 12 кілограмів.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 с

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 с

Тому: =

Згідно з емпіричним правилом, можна констатувати, що 68,27% однорічних дітей в країні мають від 8 до 12 кілограмів ваги.

б) Яка ймовірність знайти однорічну дитину вагою 7 кілограмів і менше?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 с

Відомо, що вага 7 кілограмів становить значення µ - 3s, а також відомо, що 99,73% дітей мають вагу від 7 до 13 кілограмів. Це залишає лише 0,27% від загальної кількості дітей на крайності. Половина з них, 0,135%, становить 7 кілограмів або менше, а друга половина, 0,135%, становить 11 кілограмів і більше.

Отже, можна зробити висновок, що існує ймовірність 0,00135, що дитина важить 7 кілограмів і менше.

в) Якщо населення країни досягає 50 мільйонів жителів, а однорічні діти становлять 1% населення країни, то скільки однорічних дітей буде важити від 9 до 11 кілограмів?

9 = 10 - 1 = µ - с

11 = 10 + 1 = µ + s

Тому: =

Згідно з емпіричним правилом, 68,27% однорічних в країні знаходяться в інтервалі

У країні є 500 000 однорічних дітей (1% від 50 мільйонів), тому 341 350 дітей (68,27% від 500 000) важать від 9 до 11 кілограмів.

Список літератури

1. Абрайра, В. (2002). Стандартне відхилення та стандартна помилка. Журнал Семерген. Відновлено з web.archive.org.
2. Фрейнд, Р .; Wilson, W .; Mohr, D. (2010). Статистичні методи. Третє вид. Academic Press-Elsevier Inc.
3. Сервер Аліканте (2017). Емпіричне правило (Статистичні терміни). Відновлено з сайту glosarios.servidor-alicante.com.
4. Лінд, Д .; Маршал, Ш .; Wathen, S. (2012). Статистика, що стосується бізнесу та економіки. П’ятнадцятий вид. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Салінас, Х. (2010). Статистика та ймовірності. Відновлено від uda.cl.
6. Сокаль, Р .; Rohlf, F. (2009). Вступ до біостатистики. Друга редакція. Публікації Dover, Inc.
7. Шпігель, М. (1976). Ймовірність та статистика. Серія Шаум. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
8. Шпігель, М .; Stephens, L. (2008). Статистика. Четвертий вид. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
9. Огляд Stat119 (2019). Розв’язування питань емпіричного правила. Відновлено з stat119review.com.
10. (2019). 68-95-99,7 правило. Відновлено з сайту en.wikipedia.org