КОН'ЮГАТ ДВОЧЛЕННИЙ: ЯК ЙОГО РОЗВ’ЯЗАТИ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Поєднане біном іншого бинома є один , в якому вони тільки розрізняються по знаку операції. Біноміал, як випливає з назви, - це алгебраїчна структура, що складається з двох доданків.

Деякі приклади двочленів: (a + b), (3m - n) і (5x - y). А їх відповідні сполучені двочлени: (a - b), (-3m - n) і (5x + y). Як видно одразу, різниця в знаку.

Малюнок 1. Біном і його сполучений двочлен. Вони мають однакові терміни, але відрізняються за ознакою. Джерело: Ф. Сапата.

Помножений на поєднаний біноміал призводить до чудового продукту, який широко використовується в алгебрі та науці. Результатом множення є віднімання квадратів доданків початкового двочлена.

Наприклад, (x - y) - двочлен, а його кон'югат - (x + y). Отже, добуток двох двочленів - це різниця квадратів доданків:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Як ви вирішуєте сполучений двочлен?

Викладене правило спряжених двочленів таке:

На прикладі застосування ми почнемо з демонстрації попереднього результату, який можна зробити, використовуючи розподільну властивість продукту щодо алгебраїчної суми.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Вищенаведене множення було отримано, виконавши наступні кроки:

- Перший доданок першого двочлена множиться на перший член другого

- Тоді перший за перший, за другий за другий

- Тоді другий перший за першим з другого

- Нарешті другий перший за другим другим.

Тепер зробимо невелику зміну, використовуючи комутативну властивість: yx = xy. Це виглядає приблизно так:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Оскільки є два рівні умови, але мають протилежний знак (виділений кольором та підкреслено), вони скасовуються та спрощуються:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Нарешті, застосовується, що множення числа само по собі рівносильно збільшенню його на квадрат, так що xx = x ^2, а також yy = y ² .

Таким чином показано, що було зазначено в попередньому розділі, що добуток суми та її різниця є різницею квадратів:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Малюнок 2. Сума, кратна його різниці, - це різниця квадратів. Джерело: Ф. Сапата.

Приклади

- Спряжені двочлени різних виразів

Приклад 1

Знайдіть сполучник (y ² - 3y).

Відповідь : (y ² + 3y)

Приклад 2

Отримаємо добуток (y ² - 3y) та його сполучник.

Відповідь: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Приклад 3

Розробіть добуток (1 + 2а). (2а -1).

Відповідь: попередній вираз еквівалентний (2а + 1). (2а -1), тобто відповідає добутку двочлена і його кон'югату.

Відомо, що добуток двочлена за його сполученим двочлена дорівнює різниці квадратів доданків двочлена:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Приклад 4

Запишіть добуток (x + y + z) (x - y - z) як різницю квадратів.

Відповідь: ми можемо віднести вищевказані тричлени до сполученої двочленної форми, обережно використовуючи дужки та квадратні дужки:

(x + y + z) (x - y - z) =

Таким чином можна застосувати різницю квадратів:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Приклад 5

Виразіть добуток (m ² - m -1). (M ² + m -1) як різницю квадратів.

Відповідь : попередній вираз - добуток двох тричленів. Спочатку його слід переписати як добуток двох сполучених двочленів:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Ми застосовуємо той факт, що добуток бінома за його сполученим є квадратичною різницею його доданків, як було пояснено:

. = (m ² -1) ² - m ²

Вправи

Як завжди, ви починаєте з найпростіших вправ, а потім підвищуєте рівень складності.

- Вправа 1

Напишіть (9 - ² ) як добуток.

Рішення

Спочатку ми переписуємо вираз як різницю квадратів, щоб застосувати те, що було пояснено раніше. Таким чином:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Далі ми визначаємо коефіцієнт, що еквівалентно написанню цієї різниці квадратів як продукту, як вимагається у виписці:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Вправа 2

Фактор 16x ² - 9y ⁴ .

Рішення

Факторинг виразу означає писати його як продукт. У цьому випадку необхідно попередньо переписати вираз, щоб отримати різницю квадратів.

Зробити це не складно, оскільки дивлячись уважно, всі фактори - це ідеальні квадрати. Наприклад, 16 - це квадрат 4, 9 - квадрат 3, а ⁴ - квадрат y ^2, а x ² - квадрат x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Тоді застосовуємо те, що ми вже знали раніше: що різниця квадратів є добутком сполучених двочленів:

(4х) ² - (3 і ² ) ² = (4х - 3 і ² ). (4х + 3 та ² )

- Вправа 3

Запишіть (a - b) як добуток двочленів

Рішення

Вищеописану різницю слід записати як різниці квадратів

(√a) ² - (√b) ²

Потім застосовується, що різниця квадратів є добутком сполучених двочленів

(√a - √b) (√a + √b)

- Вправа 4

Одним із застосувань спряженого двочлена є раціоналізація алгебраїчних виразів. Ця процедура складається з усунення коренів знаменника дробового виразу, що у багатьох випадках полегшує операції. Для раціоналізації наступного виразу пропонується використовувати сполучений двочлен:

√ (2-х) /

Рішення

Перше, що слід визначити сполучений двочлен знаменника:.

Тепер помножимо чисельник і знаменник вихідного виразу на сполучений двочлен:

√ (2-x) / {.}

У знаменнику попереднього виразу ми розпізнаємо добуток різниці за сумою, яка нам уже відома, відповідає різниці квадратів двочленів:

√ (2-х). / {(√3) ² - ² }

Спрощення знаменника:

√ (2-х). / = √ (2-x). / (1 - х)

Тепер ми розбираємось із чисельником, до якого застосуємо розподільну властивість товару відносно суми:

√ (2-х). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

У попередньому виразі ми розпізнаємо добуток двочлена (2-х) за його кон'югатом, який є помітним добутком, рівним різниці квадратів. Таким чином, остаточно виходить раціоналізоване та спрощене вираження:

/ (1 - х)

- Вправа 5

Розробіть наступний продукт, використовуючи властивості сполученого двочлена:

.

Рішення

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Уважний читач помітить загальний фактор, який був виділений кольором.

Список літератури

1. Бальдор, А. 1991. Алгебра. Редакційна культурна венезолана С.А.
2. Гонсалес Дж. Кон'юговані біноміальні вправи. Відновлено з: academia.edu.
3. Викладач математики Олексій. Чудові продукти. Відновлено з youtube.com.
4. Math2me. Кон'юговані двочлени / помітні продукти. Відновлено з youtube.com.
5. Кон'юговані двочлени. Відновлено з: lms.colbachenlinea.mx.
6. Життєвий. Кон'юговані двочлени. Відновлено з: youtube.com.