- Як знайти площу п’ятикутника?
- Площа звичайного п’ятикутника
- Площа неправильного п’ятикутника
- Гауссова детермінанта
- Список літератури
Площа п'ятикутника розраховується з використанням методу , відомого як тріангуляції, який може бути застосований до будь-якого багатокутника. Цей спосіб складається з поділу п'ятикутника на кілька трикутників.
Після цього обчислюється площа кожного трикутника і, нарешті, додаються всі знайдені площі. Результатом стане площа п’ятикутника.
П’ятикутник також можна розділити на інші геометричні фігури, такі як трапеція та трикутник, наприклад, фігура праворуч.
Проблема полягає в тому, що довжину більшої основи та висоту трапеції обчислити непросто. Також треба обчислити висоту червоного трикутника.
Як знайти площу п’ятикутника?
Загальним методом обчислення площі п’ятикутника є тріангуляція, але метод може бути прямим або трохи довшим, залежно від того, регулярний чи ні п’ятикутник.
Площа звичайного п’ятикутника
Перш ніж обчислити площу, необхідно знати, що таке апофем.
Апотемою правильного п’ятикутника (регулярного багатокутника) є найменша відстань від центру п’ятикутника (багатокутника) до середини однієї сторони п’ятикутника (багатокутника).
Іншими словами, апотема - це довжина відрізка лінії, що йде від центру п’ятикутника до середини однієї сторони.
Розглянемо звичайний п'ятикутник таким, що довжина його сторін дорівнює "L". Щоб обчислити його апотему, спочатку поділіть центральний кут α на кількість сторін, тобто α = 360º / 5 = 72º.
Тепер, використовуючи тригонометричні співвідношення, довжина апотеми обчислюється так, як показано на наступному зображенні.
Тому апотема має довжину L / 2tan (36º) = L / 1,45.
Тріангуляцією п’ятикутника вийде така фігура, як наведена нижче.
Усі 5 трикутників мають однакову площу (для того, щоб бути звичайним п'ятикутником). Тому площа п’ятикутника в 5 разів перевищує площу трикутника. Тобто: площа п’ятикутника = 5 * (L * ap / 2).
Підставляючи значення апотеми, отримуємо, що площа A = 1,72 * L².
Тому для обчислення площі правильного п’ятикутника потрібно знати лише довжину однієї сторони.
Площа неправильного п’ятикутника
Починаємо з неправильного п’ятикутника, таким чином, що довжини його сторін L1, L2, L3, L4 і L5. У цьому випадку апотему не можна використовувати, як раніше.
Після проведення триангуляції виходить така фігура, як:
Тепер переходимо до малювання та обчислення висот цих 5 внутрішніх трикутників.
Отже, області внутрішніх трикутників - T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2, і T5 = L5 * h5 / 2.
Значення h1, h2, h3, h4, h5 - висоти кожного трикутника відповідно.
Нарешті, площа п’ятикутника - це сума цих 5 областей. Тобто A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Як бачимо, обчислення площі неправильного п’ятикутника складніше, ніж обчислення площі звичайного п’ятикутника.
Гауссова детермінанта
Існує також інший метод, за допомогою якого можна обчислити площу будь-якого неправильного багатокутника, відомий як визначник Гаусса.
Цей метод складається з малювання багатокутника на декартовій площині, потім обчислюються координати кожної вершини.
Вершини перераховуються проти годинникової стрілки і, нарешті, обчислюються певні детермінанти, щоб остаточно отримати площу розглянутого багатокутника.
Список літератури
- Alexander, округ Колумбія, & Koeberlein, GM (2014). Елементарна геометрія для студентів коледжу. Cengage Learning.
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
- Лофрет, EH (2002). Книга таблиць та формул / Книга таблиць множення та формул. Образне.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Практична математика: арифметика, алгебра, геометрія, тригонометрія і правило слайдів (перевидання ред.). Поверніть.
- Posamentier, AS, і Bannister, RL (2014). Геометрія, її елементи та структура: друге видання. Кур'єрська корпорація.
- Квінтеро, АН і Костас, Н. (1994). Геометрія. Редакція, УНР.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрії. Редакція Tecnologica de CR.
- Тора, ФБ (2013). Математика. 1-й дидактичний підрозділ 1-е ЗНО, Том 1. Редакційний клуб Universitario.
- Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Математика (шостий курс). EUNED.