ТРАНСЦЕНДЕНТНІ ЧИСЛА: ЩО ЦЕ, ФОРМУЛИ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Ці цифри трансцендентні є ті , які не можуть бути отримані , як в результаті поліноміальною рівняння. Протилежністю трансцендентного числа є алгебраїчне число, яке є розв’язками поліномного рівняння типу:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Де коефіцієнти a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a _{0 -} це раціональні числа, що називаються коефіцієнтами многочлена. Якщо число x є рішенням попереднього рівняння, то це число не є трансцендентним.

Малюнок 1. Два числа, що мають велике значення в науці, - це трансцендентні числа. Джерело: publicdomainpictures.net.

Ми проаналізуємо кілька чисел і побачимо, чи є вони трансцендентними чи ні:

а) 3 не є трансцендентним, тому що це розв'язок x - 3 = 0.

б) -2 не може бути трансцендентним, тому що це рішення x + 2 = 0.

в) ⅓ - рішення 3x - 1 = 0

г) Рішення рівняння х ² - 2х + 1 = 0 дорівнює √2 -1, тому число за визначенням не є трансцендентним.

д) Ні √2, тому що це результат рівняння x ² - 2 = 0. Квадратура √2 дає результат 2, який віднімається від 2 дорівнює нулю. Отже √2 - це ірраціональне число, але воно не є трансцендентним.

Що таке трансцендентні числа?

Проблема полягає в тому, що не існує загального правила їх отримання (ми скажемо шлях пізніше), але одні з найвідоміших - це число pi і число Непера, позначені відповідно: π і e.

Число π

Число π з'являється природно, спостерігаючи, що математичний коефіцієнт між периметром P кола і його діаметром D, незалежно від того, мале чи велике коло, завжди дає те саме число, що називається pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Це означає, що якщо діаметр окружності приймається за одиницю вимірювання, для всіх них великих чи малих, периметр завжди буде Р = 3,14… = π, як це видно з анімації на малюнку 2.

Малюнок 2. Довжина периметра круга pi дорівнює довжині діаметра, при цьому pi становить приблизно 3,1416.

Для того, щоб визначити більше десяткових знаків, необхідно виміряти P і D з більшою точністю, а потім обчислити коефіцієнт, що було зроблено математично. Висновок полягає в тому, що децимальні коефіцієнти не мають кінця і ніколи не повторюються, тому число π, крім того, що є трансцендентним, також є нераціональним.

Ірраціональне число - це число, яке не може бути виражене діленням двох цілих чисел.

Відомо, що кожне трансцендентне число є ірраціональним, але це неправда, що всі ірраціональні числа є трансцендентними. Наприклад, √2 нераціональний, але не є трансцендентним.

Малюнок 3. Трансцендентні числа нераціональні, але зворотне не відповідає дійсності.

Число е

Трансцендентне число e є основою природних логарифмів і його десяткове наближення:

та ≈ 2.718281828459045235360….

Якби ви хотіли точно записати число e, потрібно було б написати нескінченні десяткові знаки, тому що кожне трансцендентне число є нераціональним, як говорилося раніше.

Перші десять цифр e легко запам'ятати:

2,7 1828 1828, і хоча це, мабуть, слідує повторюваній схемі, цього не досягається в десяткових порядках більше дев'яти.

Більш формальне визначення e таке:

Це означає, що точне значення e отримується шляхом виконання операції, зазначеної у цій формулі, коли натуральне число n має тенденцію до нескінченності.

Це пояснює, чому ми можемо отримати лише наближення e, оскільки незалежно від того, наскільки велике розміщено число n, завжди можна знайти більше n.

Давайте шукатимемо деякі наближення самостійно:

-Коли n = 100, то (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, що навряд чи збігається в першому десятковому значенні з "істинним" значенням e.

-Якщо ви вибираєте n = 10000, у вас є (1 + 1 / 10,000) ^10,000 = 271815, що збігається з "точним" значенням e в перших трьох десяткових знаках.

Цей процес повинен був би дотримуватися нескінченно, щоб отримати "справжнє" значення e. Я не думаю, що ми встигли це зробити, але спробуємо ще один:

Давайте використовувати n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

Це лише чотири десяткових знаки, які відповідають значенню, що вважається точним.

Важливо зрозуміти, що чим вище значення n обрано для обчислення e _n , тим ближче воно буде до справжнього значення. Але це справжнє значення матиме лише тоді, коли n нескінченно.

Малюнок 4. Графічно показано, що чим вище значення n, тим ближче до e, але щоб дійти до точного значення n, треба нескінченно.

Інші важливі цифри

Крім цих відомих чисел, є й інші трансцендентні числа, наприклад:

- 2 ^√2

-Чист Champernowne в базі 10:

C_10 = 0,112456789101112131415161718192021….

-Чист Champernowne в базі 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Гамма-число γ або константа Ейлера-Машероні:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Що отримується шляхом наступного обчислення:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Бо коли n дуже-дуже великий. Щоб мати точне значення числа Гамма, потрібно було б зробити обчислення з n нескінченності. Щось подібне до того, що ми робили вище.

І є набагато більше трансцендентних чисел. Великий математик Георг Кантор, який народився в Росії і проживав між 1845 і 1918 роками, показав, що набір трансцендентних чисел набагато більший, ніж множина алгебраїчних чисел.

Формули, де з'являється трансцендентне число π

Периметр окружності

P = π D = 2 π R, де P - периметр, D - діаметр, а R - радіус окружності. Слід пам’ятати, що:

-Діаметр окружності - це найдовший відрізок, що з'єднує дві точки однакової точки і завжди проходить через його центр,

-Радіус дорівнює половині діаметра і є відрізком, який йде від центру до краю.

Площа кола

A = π R ² = ¼ π D ²

Поверхня кулі

S = 4 π R ^2.

Так. Хоча це може здатися не так, поверхня кулі така ж, як у чотирьох кіл того ж радіуса, що і сфера.

Обсяг сфери

V = 4/3 π R ³

Вправи

- Вправа 1

Піцерія «EXÓTICA» продає піци трьох діаметрів: невеликі 30 см, середні 37 см і великі 45 см. Хлопчик дуже голодний і зрозумів, що дві маленькі піци коштують стільки ж, скільки одна велика. Що йому буде краще, придбати дві маленькі піци чи одну велику?

Малюнок 5.- Площа піци пропорційна квадрату радіусу, pi - константа пропорційності. Джерело: Pixabay.

Рішення

Чим більша площа, тим більша кількість піци, і з цієї причини площа великої піци буде обчислена та порівняна з площею двох маленьких піц:

Площа великої піци = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 см ²

Площа маленької піци = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 см ²

Тому дві маленькі піци матимуть площу

2 х 706,86 = 1413,72 см ² .

Зрозуміло: у вас буде більша кількість піци, придбавши одну велику, ніж дві маленькі.

- Вправа 2

Піцерія "EXÓTICA" також продає півсферичну піцу радіусом 30 см за тією ж ціною, що і прямокутну розміром 30 х 40 см з кожного боку. Якого б ви вибрали?

Малюнок 6.– Поверхня півкулі вдвічі більша від круглої поверхні основи. Джерело: Ф. Сапата.

Рішення

Як було сказано в попередньому розділі, поверхня кулі в чотири рази більша від кола одного діаметру, тому півсфера діаметром 30 см матиме:

30 см напівсферична піца: 1413,72 см ² (двічі кругла однакового діаметра)

Прямокутна піца: (30 см) х (40 см) = 1200 см ² .

Півсферична піца має більшу площу.

Список літератури

1. Fernández J. Число е. Походження та цікавості. Відновлено з: soymatematicas.com
2. Насолоджуйтесь математикою. Номер Ейлера. Відновлено з: enjolasmatematicas.com.
3. Фігера, Ж. 2000. Математика 1-е. Різноманітний. Видання CO-BO
4. Гарсія, М. Число е в елементарному обчисленні. Відновлено з: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Вікіпедія. ПІ номер. Відновлено з: wikipedia.com
6. Вікіпедія. Трансцендентні числа. Відновлено з: wikipedia.com