ПОСТІЙНА ІНТЕГРАЦІЯ: ЗНАЧЕННЯ, РОЗРАХУНОК ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Постійна інтегрування є додатковим значенням для обчислення первісних або інтегралів, він служить для подання рішень , які становлять примітив функції. Він виражає притаманну неоднозначність, коли будь-яка функція має нескінченну кількість примітивів.

Наприклад, якщо ми візьмемо функцію: f (x) = 2x + 1 і отримаємо її антидериват:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Де C - константа інтеграції і графічно представляє вертикальний переклад між нескінченними можливостями примітиву. Правильно сказати, що (x ² + x) - один із примітивів f (x).

Джерело: автор

Аналогічно можна визначити (x ² + x + C ) як примітив f (x).

Зворотна властивість

Можна відзначити, що при виведенні виразу (x ² + x) отримується функція f (x) = 2x + 1. Це пов'язано з оберненою властивістю, яка існує між виведенням та інтегруванням функцій. Ця властивість дозволяє отримати формули інтеграції, починаючи з диференціації. Що дозволяє перевірити інтеграли за допомогою тих самих похідних.

Джерело: автор

Однак (x ² + x) - не єдина функція, похідна якої дорівнює (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Де 1, 2, 3 і 4 являють собою окремі примітиви f (x) = 2x + 1. У той час як 5 являє собою невизначений або примітивний інтеграл f (x) = 2x + 1.

Джерело: автор

Примітиви функції досягаються за допомогою антидеривації або інтегрального процесу. Де F буде примітивом f, якщо справедливо наступне

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = постійна інтегрування
• F '(x) = f (x)

Видно, що функція має єдине похідне на відміну від її нескінченних примітивів, що виникають в результаті інтеграції.

Неозначений інтеграл

∫ f (x) dx = F (x) + C

Він відповідає сімейству кривих з однаковим малюнком, які відчувають невідповідність у значеннях зображень кожної точки (x, y). Кожна функція, яка виконує цю закономірність, буде індивідуальною примітивністю, а набір усіх функцій відомий як невизначений інтеграл.

Значення константи інтеграції буде таким, яке диференціює кожну функцію на практиці.

Постійна інтегрування передбачає вертикальне зміщення у всіх графіках , що представляють примітиви функції. Там, де спостерігається паралелізм між ними, і той факт, що С - значення переміщення.

Згідно із загальноприйнятою практикою, константа інтеграції позначається буквою "С" після додавання, хоча на практиці байдуже, додається чи віднімається константа. Його реальну цінність можна знайти різними способами при різних початкових умовах .

Інші значення константи інтеграції

Вже обговорювалося, як константа інтеграції застосовується у гілці інтегрального числення ; Представлення сімейства кривих, які визначають невизначений інтеграл. Але багато інших наук та галузей присвоїли дуже цікаві та практичні значення константи інтеграції, що сприяло розвитку численних досліджень.

У фізиці константа інтеграції може приймати декілька значень залежно від характеру даних. Дуже поширеним прикладом є знання функції V (t), яка представляє швидкість частинки проти часу t. Відомо, що при обчисленні примітиву V (t) отримується функція R (t), яка представляє положення частинки проти часу.

Постійна інтегрування буде представляти значення початкової позиції, тобто в момент часу Т = 0.

Таким же чином, якщо відома функція A (t), яка представляє прискорення частинки проти часу. Примітив A (t) призведе до функції V (t), де константа інтегрування буде значенням початкової швидкості V ₀ .

В економіці шляхом отримання шляхом інтеграції примітивної функції витрат. Постійна інтегрування буде представляти постійні витрати. І так багато інших програм, які заслуговують на диференційне та інтегральне числення.

Як обчислюється константа інтеграції?

Для обчислення константи інтеграції завжди потрібно знати початкові умови . Які відповідають за визначення того, хто з можливих примітивів є відповідним.

У багатьох додатках це трактується як незалежна змінна в часі (t), де константа C приймає значення, що визначають початкові умови конкретного випадку.

Якщо взяти початковий приклад: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Дійсною початковою умовою може бути умова, що графік проходить через певну координату. Наприклад, ми знаємо, що примітив (x ² + x + C) проходить через точку (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; це загальне рішення

F (1) = 2

У цій рівності ми підставляємо загальне рішення

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Звідки легко випливає, що C = 0

Таким чином, відповідний примітив для цього випадку F (x) = x ² + x

Існує кілька видів числових вправ, які працюють із константами інтеграції . Насправді диференціальне та інтегральне числення не перестає застосовуватися в сучасних дослідженнях. На різних академічних рівнях їх можна знайти; від початкового розрахунку, через фізику, хімію, біологію, економіку, серед інших.

Це також оцінено при вивченні диференціальних рівнянь , де константа інтеграції може приймати різні значення та рішення, це пояснюється множинними похідними та інтеграціями, які здійснюються в цьому питанні.

Приклади

Приклад 1

1. Гармата, розташована 30 метрів, вистрілює снаряд вертикально вгору. Початкова швидкість снаряда, як відомо, становить 25 м / с. Вирішіть:

• Функція, яка визначає положення снаряду щодо часу.
• Час польоту або момент часу, коли частинка потрапить у землю.

Відомо, що при прямолінійному русі, рівномірно змінюваному, прискорення є постійною величиною. Це випадок запуску снаряду, де прискорення буде гравітацією

g = - 10 м / с ²

Відомо також, що прискорення є другою похідною положення, яка вказує на подвійну інтеграцію в роздільній здатності вправи, отримуючи таким чином дві константи інтеграції.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Початкові умови вправи вказують на те, що початкова швидкість V ₀ = 25 м / с. Це швидкість у момент моменту t = 0. Таким чином переконується, що:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ і C ₁ = 25

З визначеною функцією швидкості

V (t) = -10t + 25; Подібність можна спостерігати за формулою MRUV (V _f = V ₀ + axt)

Гомологічним способом функція швидкості інтегрується для отримання виразу, що визначає положення:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ ( позитивне положення)

Відомо початкове положення R (0) = 30 м. Потім обчислюється особливий примітив снаряду.

R (0) = 30м = -5 (0) ² + 25 (0) + С ₂ . Де C ₂ = 30

Приклад 2

1. Знайдіть примітивний f (x), який задовольняє початковим умовам:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

З інформацією другої похідної f '' (x) = 4 починається процес антидеривації

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4х + C ₁

Тоді, знаючи умову f '(2) = 2, переходимо:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 і f '(x) = 4x - 8

Таким же чином ми поступаємо і для другої константи інтеграції

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Початкова умова f (0) = 7 відома, і ми продовжуємо:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 і f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Аналогічно попередній задачі ми визначаємо перші похідні та вихідну функцію від початкових умов.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (х ² ) ах = (х ³ /3) + С ₁

З умовою f '(0) = 6 переходимо:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Де C ₁ = 6 і Р «(х) = (х ³ /3) + 6

Тоді друга константа інтеграції

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ дх = (х ⁴ /12) + 6x + С ₂

Початкова умова f (0) = 3 відома, і ми продовжуємо:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Де C ₂ = 3

Таким чином ми отримуємо первісну частку

F (X) = (х ⁴ /12) + 6x + 3

Приклад 3

1. Визначте примітивні функції, задані похідними та крапкою на графіку:

• dy / dx = 2x - 2, що проходить через точку (3, 2)

Важливо пам’ятати, що похідні стосуються нахилу лінії, дотичної до кривої в заданій точці. Там, де неправильно вважати, що графік похідної торкається зазначеної точки, оскільки це належить графіку примітивної функції.

Таким чином виражаємо диференціальне рівняння наступним чином:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Застосування початкової умови:

2 = (3) ² - 2 (3) + С

С = -1

Отримується: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, що проходить через точку (0, 2)

Виразимо диференціальне рівняння так:

Застосування початкової умови:

2 = (0) ² - 2 (0) + С

C = 2

Отримуємо: f (x) = x ³ - x + 2

Запропоновані вправи

Вправа 1

1. Знайдіть примітивний f (x), який задовольняє початковим умовам:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Вправа 2

1. Повітряна куля, що піднімається зі швидкістю 16 футів / с, опускає мішок з піском з висоти 64 футів над рівнем землі.

• Визначте час польоту
• Яким буде вектор V _f, коли він потрапить на землю?

Вправа 3

1. На малюнку показаний графік часу прискорення автомобіля, що рухається в позитивному напрямку осі x. Автомобіль їхав із постійною швидкістю 54 км / год, коли водій застосував гальмо, щоб зупинитись за 10 секунд. Визначте:

• Початкове прискорення автомобіля
• Швидкість автомобіля при t = 5с
• Переміщення автомобіля під час гальмування

Джерело: автор

Вправа 4

1. Визначте примітивні функції, задані похідними та крапкою на графіку:

• dy / dx = x, що проходить через точку (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, який проходить через точку (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, який проходить через точку (-2, 2)

Список літератури

1. Інтегральне числення. Неозначений інтегральний та інтеграційний методи. Вілсон, Веласкес Бастідас. Університет Магдалини 2014
2. Стюарт, Дж. (2001). Розрахунок змінної. Ранні трансценденти. Мексика: Thomson Learning.
3. Хіменес, Р. (2011). Математика VI. Інтегральне числення. Мексика: Пірсон освіта.
4. Фізика І. Мак-Грю-Хілл