АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ: ЩО ВИВЧАЄ, ІСТОРІЯ, ЗАСТОСУВАННЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В аналітичній геометрії вивчаються лінії і геометричні фігури, застосовуючи основні методи алгебри і математичного аналізу в даній системі координат.

Отже, аналітична геометрія - це галузь математики, яка детально аналізує всі дані геометричних фігур, тобто об'єм, кути, площу, точки перетину, їх відстані серед інших.

Основна характеристика аналітичної геометрії полягає в тому, що вона дозволяє представити геометричні фігури за допомогою формул.

Наприклад, окружність представлена ​​поліноміальними рівняннями другого ступеня, а лінії виражаються поліноміальними рівняннями першого ступеня.

Аналітична геометрія виникає у XVII столітті через необхідність дати відповіді на проблеми, які до цього часу не мали рішення. Його головними представниками були Рене Декарт та П'єр де Ферма.

Сьогодні багато авторів вказують на це як на революційне творіння в історії математики, оскільки воно являє собою початок сучасної математики.

Історія аналітичної геометрії

Термін аналітична геометрія виник у Франції у XVII столітті через необхідність дати відповіді на проблеми, які неможливо було вирішити, використовуючи алгебру та геометрію ізольовано, але рішення полягало у комбінованому використанні обох.

Основні представники аналітичної геометрії

Протягом XVII століття двоє французів випадково в житті провели дослідження, які так чи інакше закінчилися створенням аналітичної геометрії. Цими людьми були П'єр де Ферма та Рене Декарт.

В даний час вважається, що творцем аналітичної геометрії був Рене Декарт. Це пов’язано з тим, що він видав свою книгу до Ферма, а також поглиблено з Декартам на тему аналітичної геометрії.

Однак і Фермат, і Декарт виявили, що лінії та геометричні фігури можна виразити рівняннями, а рівняння можна виразити у вигляді ліній або геометричних фігур.

Відповідно до відкриттів, зроблених двома, можна сказати, що обидва є творцями аналітичної геометрії.

П'єр де Ферма

П'єр де Ферма був французьким математиком, який народився в 1601 році і помер у 1665 році. За життя він вивчав геометрію Евкліда, Аполлонія та Паппа, щоб вирішити проблеми вимірювання, що існували на той час.

Пізніше ці дослідження спровокували створення геометрії. Вони виявилися в його книзі "Вступ до рівних і твердих місць" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), яка була опублікована через 14 років після його смерті в 1679 році.

П'єр де Ферма застосував аналітичну геометрію до теорем Аполлонія на геометричних місцях у 1623 році. Він також першим застосував аналітичну геометрію до тривимірного простору.

Рене Декарт

Також відомий як Картесій, він був математиком, фізиком та філософом, який народився 31 березня 1596 року у Франції та помер у 1650 році.

Рене Декарт опублікував у 1637 р. Свою книгу "Дискурс про те, як правильно вести розум і шукати істину в науках", більш відомий як "Метод", і звідси у світ був представлений термін аналітична геометрія. Одним із його додатків була «Геометрія».

Основні елементи аналітичної геометрії

Аналітична геометрія складається з таких елементів:

Декартова система координат

Ця система названа на честь Рене Декарта.

Не він назвав його, а не той, хто доповнив декартову систему координат, але він був тим, хто говорив про координати із позитивними цифрами, що дозволяло майбутнім науковцям доповнити її.

Ця система складається з прямокутної системи координат і полярної системи координат.

Прямокутні системи координат

Прямокутними системами координат називають площину, утворену трасуванням двох ліній числення, перпендикулярних одна до одної, де точка відсікання збігається із загальним нулем.

Тоді ця система складалася б з горизонтальної лінії та вертикальної.

Горизонтальна лінія - це вісь X або вісь абсцис. Вертикальна лінія була б віссю Y або ординатною віссю.

Полярна система координат

Ця система відповідає за перевірку відносного положення точки відносно нерухомої лінії та до фіксованої точки на лінії.

Декартовое рівняння прямої

Це рівняння виходить із прямої, коли відомі дві точки, через які він проходить.

Пряма лінія

Він не відхиляється і тому не має ні кривих, ні кутів.

Коніки

Вони являють собою криві, визначені лініями, які проходять через нерухому точку, і точками кривої.

Еліпс, окружність, парабола та гіпербола - це конічні криві. Кожен з них описаний нижче.

Окружність

Окружністю називають криву закритої площини, яка утворена всіма точками площини, які рівновіддалені від внутрішньої точки, тобто від центру окружності.

Притча

Це місце розташування точок у площині, які рівновіддалені від нерухомої точки (фокус) та нерухомої лінії (прямої матриці). Тож пряма і фокус - це те, що визначає параболу.

Параболу можна отримати як переріз конусоподібної поверхні обертання через площину, паралельну генератору.

Еліпс

Еліпс - це замкнена крива, яка описує точку, що рухається в площині таким чином, що сума її відстаней до двох (2) нерухомих точок (званих вогнищем) є постійною.

Гіпербола

Гіперболою називають криву, визначену місцем розташування точок у площині, для яких різниця між відстанями двох нерухомих точок (вогнищ) є постійною.

Гіпербола має вісь симетрії, яка проходить через вогнища, звану фокусною віссю. У нього також є інший, який є бісектрисою сегмента, який має на своїх кінцях нерухомі точки.

Програми

Існує багато застосувань аналітичної геометрії в різних сферах повсякденного життя. Наприклад, ми можемо знайти параболу, один з основних елементів аналітичної геометрії, у багатьох інструментах, які сьогодні застосовуються щодня. Деякі з цих інструментів:

Супутникова антена

Параболічні антени мають відбивач, що утворюється в результаті параболи, яка обертається на осі зазначеної антени. Поверхня, яка утворюється в результаті цієї дії, називається параболоїдом.

Цю здатність параболоїда називають оптичною властивістю або властивістю відбиття параболи, і завдяки цьому параболоїд може відображати електромагнітні хвилі, які він отримує від живильного механізму, що складає антену.

Підвісні мости

Коли мотузка підтримує однорідну вагу, але в той же час значно більше ваги самої мотузки, результатом буде парабола.

Цей принцип є основоположним для будівництва підвісних мостів, які, як правило, підтримуються широкими сталевими кабельними конструкціями.

Принцип параболи в підвісних мостах застосовувався в таких структурах, як міст Золоті ворота, розташований у місті Сан-Франциско, США, або Великий міст протоки Акасі, який розташований в Японії та з'єднує острів Аваджі з Хоншу, головний острів цієї країни.

Астрономічний аналіз

Аналітична геометрія також мала дуже специфічні та вирішальні застосування в галузі астрономії. У цьому випадку елементом аналітичної геометрії, який займає центральний етап, є еліпс; Закон Йоганнеса Кеплера про рух планет відображає це.

Кеплер, німецький математик і астроном, визначив, що еліпс - це крива, яка найкраще відповідає руху Марса; Раніше він випробовував кругову модель, запропоновану Коперником, але в розпалі своїх експериментів він зробив висновок, що еліпс слугував для виведення орбіти, абсолютно подібної до планети, яку він вивчав.

Завдяки еліпсу Кеплеру вдалося підтвердити, що планети рухаються по еліптичних орбітах; цей розгляд став твердженням так званого другого закону Кеплера.

З цього відкриття, згодом збагаченого англійським фізиком і математиком Ісааком Ньютоном, вдалося вивчити орбітальні рухи планет і збільшити знання, що були про всесвіт, до якого ми входимо.

Телескоп Cassegrain

Телескоп Cassegrain названий на честь його винахідника, фізика походження француза Лорана Кассегрена. У цьому телескопі використовуються принципи аналітичної геометрії, оскільки він складається, головним чином, з двох дзеркал: перше є увігнутим і параболічним, а друге характеризується опуклим і гіперболічним.

Розташування та характер цих дзеркал дозволяють не мати дефекту, відомого як сферична аберація; Цей дефект запобігає відбиванню світлових променів у фокусі даної лінзи.

Телескоп Cassegrain дуже корисний для планетарного спостереження, а також досить універсальний і простий у використанні.

Список літератури

1. Аналітична геометрія. Отримано 20 жовтня 2017 року з britannica.com
2. Аналітична геометрія. Отримано 20 жовтня 2017 року з encyclopediafmath.org
3. Аналітична геометрія. Отримано 20 жовтня 2017 року з сайту khancademy.org
4. Аналітична геометрія. Отримано 20 жовтня 2017 року з wikipedia.org
5. Аналітична геометрія. Отримано 20 жовтня 2017 року з whitman.edu
6. Аналітична геометрія. Отримано 20 жовтня 2017 року з сайту stewartcalculus.com
7. Плоска аналітична геометрія Отримано 20 жовтня 2017 року