ЗВОРОТНА МАТРИЦЯ: РОЗРАХУНОК ТА РОЗВ’ЯЗАНА ВПРАВА - МАТЕМАТИКА - 2025

Зворотній матриця даної матриці є матриця , яка множиться на оригіналі дає одиничну матрицю. Зворотна матриця корисна для розв’язування систем лінійних рівнянь, звідси важливо знати, як її обчислити.

Матриці дуже корисні з фізики, техніки та математики, оскільки є компактним інструментом для вирішення складних задач. Корисність матриць посилюється, коли вони зворотні, і їх інверсія також відома.

Малюнок 1. Показано загальну матрицю 2 × 2 та її зворотну матрицю. (Підготував Рікардо Перес)

У сферах графічної обробки, великих даних, майнінгу даних, машинного навчання та інших застосовуються ефективні та швидкі алгоритми для оцінки зворотної матриці матриць nxn з дуже великим n, порядком тисяч чи мільйонів.

Щоб проілюструвати використання зворотної матриці в обробці системи лінійних рівнянь, ми почнемо з найпростішого випадку з усіх: матриць 1 × 1.

Найпростіший випадок: вважається лінійне рівняння однієї змінної: 2 х = 10.

Ідея полягає у знаходженні значення x, але це буде зроблено "матрицею".

Матриця M = (2), що множує вектор (x), є матрицею 1 × 1, що призводить до вектора (10):

M (x) = (10)

Обернена матриця M позначається М ^-1 .

Загальний спосіб написання цієї "лінійної системи":

MX = B, де X - вектор (x), а B - вектор (10).

За визначенням, обернена матриця - це та, яка помножена на вихідну матрицю призводить до отримання матриці ідентичності I:

М ^-1 М = І

У розглянутому випадку матриця M ^-1 є матрицею (½), тобто M ^-1 = (½), оскільки M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Щоб знайти невідомий вектор X = (x), у запропонованому рівнянні обидва члени множать на обернену матрицю:

М ^-1 М (х) = М ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(х) = (5)

Досягнуто рівності двох векторів, які рівні лише тоді, коли їх відповідні елементи рівні, тобто х = 5.

Обчислення зворотної матриці

Що мотивує обчислення зворотної матриці, це знайти універсальний метод рішення лінійних систем, таких як наступна система 2 × 2:

х - 2 у = 3

-x + y = -2

Виконуючи кроки випадку 1 × 1, вивченого в попередньому розділі, записуємо систему рівнянь у матричній формі:

Малюнок 2. Лінійна система в матричній формі.

Зауважте, що ця система записана у компактних векторних позначеннях наступним чином:

MX = B

де

Наступним кроком є ​​пошук зворотного М.

Спосіб 1: Використання Гауссова елімінації

Буде застосований метод гауссового усунення. Що складається з виконання елементарних операцій на рядках матриці, такими операціями є:

- Помножте рядок на ненульове число.

- Додавання або віднімання іншого рядка з рядка або кратного іншого рядка.

- Обміняйте рядки.

Мета полягає в тому, щоб за допомогою цих операцій перетворити оригінальну матрицю в матрицю ідентичності.

Коли це робиться, в матриці M точно такі ж операції застосовуються до матриці ідентичності. Коли після декількох операцій над рядками M перетвориться на одиничну матрицю, то та, яка спочатку була одиницею, стане оберненою матрицею M, тобто M ^-1 .

1- Починаємо процес, записуючи матрицю M, а поруч з нею одиничну матрицю:

2- Додаємо два ряди і ставимо результат у другий ряд, таким чином отримуємо нуль у першому елементі другого ряду:

3- Другий ряд множимо на -1, щоб отримати 0 і 1 у другому ряду:

4- Перший ряд множимо на ½:

5- Додаються другий і перший, а результат розміщується в першому рядку:

6- Тепер, щоб закінчити процес, перший рядок множимо на 2, щоб отримати матрицю ідентичності в першому рядку, а зворотну матрицю вихідної матриці M у другому:

Тобто:

Системне рішення

Після отримання зворотної матриці система рівнянь вирішується шляхом застосування оберненої матриці до обох членів компактного векторного рівняння:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Що явно виглядає так:

Потім проводиться множення матриці для отримання вектора X:

Спосіб 2: використання доданої матриці

У цьому другому методі зворотна матриця обчислюється з приєднаною матриці вихідної матриці A .

Припустимо, матриця A задана:

де _{I, J} являє собою елемент в рядку я і стовпці J матриці A .

Суміжний з матрицею A буде називатися Adj (A) і його елементами є:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

де Ai, J є додатковим нижня матриця , отримана за рахунок усунення рядки я і стовпці J вихідної матриці A . Стрижки ¦ ¦ вказують на те, що обчислювальний коефіцієнт, тобто ¦Ai, j¦, є визначником другорядної комплементарної матриці.

Формула зворотної матриці

Формула для пошуку оберненої матриці, що починається з сусідньої матриці вихідної матриці, така:

Є, обернена матриця А , А ^-1 , є транспонована сполученого А ділиться на визначник А .

Транспонування A ^T матриці A виходить шляхом обміну рядків для стовпців, тобто перший рядок стає першим стовпцем, а другий рядок стає другим стовпцем і так далі, поки n рядків початкової матриці не будуть заповнені.

Вправа вирішена

Нехай матриця A буде такою:

Кожен елемент суміжної матриці A обчислюється: Adj (A)

У результаті чого суміжна матриця A, Adj (A) є такою:

Потім обчислюється визначник матриці A, det (A):

Нарешті отримується зворотна матриця A:

Список літератури

1. Ентоні Ніколайдес (1994) Детермінанти та матриці. Пройти публікацію.
2. Awol Assen (2013) Дослідження обчислення детермінант 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Вступ до лінійної алгебри. Редакція ESIC.
4. Дейв Кіркбі (2004) Maths Connect. Хайнеман.
5. Дженні Олив (1998) Математика: Посібник з виживання студента. Cambridge University Press.
6. Річард Дж. Браун (2012) Математика 30 секунд: 50 найпоширеніших теорій математики. Ivy Press Limited.
7. Матриця. Академічне видавництво Ламп.