ЦІЛІ ЧИСЛА: ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Цілі числа - це набір корисних чисел для підрахунку об'єктів, які закінчують, і не мають. Також порахуйте тих, хто знаходиться з одного боку, а з іншого - певного місця відліку.

Також за допомогою цілих чисел ви можете здійснити віднімання чи різницю між числом та іншим, більшим за нього, результатом, наприклад, заборгованість. Розмежування заробітку та заборгованості проводиться відповідно зі знаками + та -.

Малюнок 1. Рядок чисел для цілих чисел. Джерело: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Тому набір цілих чисел включає наступне:

-Позитивні цілі числа, які записуються перед знаком +, або просто без знаку, оскільки також розуміється, що вони додатні. Наприклад: +1, +2, + 3… і так далі.

-0, у якому знак не має значення, оскільки його не має значення додавати, щоб відняти його від деякої кількості. Але 0 дуже важливий, оскільки це орієнтир для цілих чисел: на одній стороні - позитиви, а на інші - негативи, як ми бачимо на рисунку 1.

-Негативні цілі числа, які завжди повинні бути записані перед знаком, - оскільки з ними розрізняють такі суми, як борги та всі ті, що знаходяться з іншого боку відліку. Прикладами від’ємних цілих чисел є: -1, -2, -3… і далі.

Як представлені цілі числа?

На початку ми представляємо цілі числа із заданими позначеннями: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, тобто списки та організовано. Але дуже корисним представленням є те, що використовується числовим рядком. Для цього потрібно намалювати лінію, яка, як правило, горизонтальна, на якій 0 позначено і розділено на однакові розділи:

Малюнок 2. Представлення цілих чисел на рядку чисел. Від 0 праворуч - натуральні цілі, а від 0 - зліва - від’ємні. Джерело: Ф. Сапата.

Негативи йдуть зліва від 0, а позитиви - праворуч. Стрілки на рядку цифр символізують, що числа продовжуються до нескінченності. Враховуючи будь-яке ціле число, завжди можна знайти те, що більше, або інше, що менше.

Абсолютне значення цілого числа

Абсолютне значення цілого числа - це відстань між числом і 0. І відстані завжди додатні. Тому абсолютне значення від’ємного цілого числа - це число без його знаку мінус.

Наприклад, абсолютне значення -5 дорівнює 5. Абсолютне значення позначається штрихами так:

--5- = 5

Щоб візуалізувати його, просто порахуйте пробіли в рядку числа, від -5 до 0. Хоча абсолютне значення додатного цілого числа є тим самим числом, наприклад - + 3- = 3, оскільки його відстань від 0 дорівнює з 3 пробілами:

Малюнок 3. Абсолютна величина цілого числа завжди є додатною величиною. Джерело: Ф. Сапата.

Властивості

-Набір цілих чисел позначається як Z і включає безліч натуральних чисел N, їх елементи є нескінченними.

-Целе число і те, що слідує за ним (або те, що йому передує), завжди диференціюються в єдності. Наприклад, після 5 приходить 6, причому 1 - різниця між ними.

-Кожне ціле число має попередника та наступника.

-Кожне додатне ціле число більше 0.

-Негативне ціле число завжди менше 0 і будь-яке додатне число. Візьмемо для прикладу число -100, це менше 2, ніж 10 і менше 50. Але воно також менше -10, -20 і -99 і більше -200.

-0 не має знакових міркувань, оскільки не є ні негативними, ні позитивними.

-З цілими числами ви можете виконувати ті самі операції, що і з натуральними числами, а саме: додавання, віднімання, множення, розширення можливостей тощо.

-Ціле число, протилежне певному цілому числу x, є –x, а сума цілого числа з його протилежністю дорівнює 0:

x + (-x) = 0.

Операції з цілими числами

- Сума

-Якщо числа, які потрібно додати, мають однаковий знак, їх абсолютні значення додаються і результат ставиться зі знаком, який мають доданки. Ось кілька прикладів:

а) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

б) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Якщо числа мають різну ознаку, віднімаються абсолютні значення (найвищі від найнижчих) і результат ставиться зі знаком числа з найвищим абсолютним значенням:

а) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

б) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Властивості суми цілих чисел

-Сума є комутативною, тому порядок додавань не змінює суму. Нехай a і b - цілі числа, правда, що a + b = b + a

-0 є нейтральним елементом суми цілих чисел: a + 0 = a

-Кожне ціле число, додане до його протилежного, дорівнює 0. Протилежність + a є –a, і, навпаки, протилежне –a є + a. Тому: (+ a) + (-a) = 0.

Малюнок 2. Правило знаків для додавання цілих чисел. Джерело: Wikimedia Commons.

- Віднімання

Для віднімання цілих чисел треба керуватися цим правилом: віднімання еквівалентно додаванню числа з його протилежністю. Нехай а і b - два числа, тоді:

a - b = a + (-b)

Наприклад, припустимо, що вам потрібно виконати таку операцію: (-3) - (+7), потім:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Множення

Множення цілих чисел відповідає певним правилам ознак:

-Твір двох чисел з однаковим знаком завжди позитивний.

-При множенні двох чисел з різними ознаками результат завжди негативний.

-Цінність продукту дорівнює множенню відповідних абсолютних значень.

Відразу кілька прикладів, що пояснюють вищесказане:

(-5) х (+8) = - 5 х 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Властивості множення цілих чисел

-Примноження є комутативним. Нехай a і b - цілі числа, правда, що: ab = ba, яке також можна виразити як:

-Нейтральний елемент множення дорівнює 1. Нехай а є цілим числом, тому a.1 = 1

-Кожне ціле число, помножене на 0, дорівнює 0: a.0 = 0

Властивість розподілу

Множення відповідає властивості розподілу щодо додавання. Якщо a, b і c - цілі числа, то:

а. (b + c) = ab + ac

Ось приклад застосування цього властивості:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Розширення можливостей

-Якщо база позитивна, результат операції завжди позитивний.

-Коли база негативна, якщо показник рівний, результат позитивний. а якщо показник непарний, результат негативний.

- Відділ

Ті самі правила знаків діють у діленні, як при множенні:

-При діленні двох цілих чисел одного і того ж знака результат завжди позитивний.

-При розділенні двох цілих чисел з різними ознаками коефіцієнт від’ємний.

Наприклад:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Важливо : ділення не є комутативним, іншими словами a ÷ b ≠ b ÷ a, як завжди, ділення на 0 не допускається.

- Розширення можливостей

Нехай a буде цілим числом, і ми хочемо підняти його до показника n, тоді ми мусимо помножити a на n разів, як показано нижче:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Також врахуйте наступне, враховуючи, що n - натуральне число:

-Якщо a від'ємне, а n рівне, результат позитивний.

-Коли a від'ємна, а n непарна, це призводить до від'ємного числа.

-Якщо a додатне, а n парне чи непарне, додатне ціле число завжди призводить.

-Кожне ціле число, підняте на 0, дорівнює 1: a ⁰ = 1

-Кожне число, підняте до 1, дорівнює числу: a ¹ = a

Скажімо, наприклад, що ми хочемо знайти (–3) ⁴ , для цього множимо (-3) чотири рази на себе, як це: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Інший приклад, також з від’ємним цілим числом:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Продукт повноважень рівних основ

Припустимо, дві сили на рівну основу, якщо їх помножити, ми отримаємо іншу потужність з тією ж базою, показник якої - сума заданих показників:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Коефіцієнт рівних базових потужностей

При поділі потужностей на рівну основу результат - це потужність з тією ж базою, показником якої є віднімання заданих показників:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Ось два приклади, що пояснюють ці моменти:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Приклади

Давайте подивимося прості приклади застосування цих правил, пам’ятаючи, що у випадку натуральних чисел знак може бути відмінений:

а) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

б) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

в) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

г) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

д) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

г) (- 4) х (-11) = 4 х 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

і) (-2) ³ = (-2) х (-2) х (-2) = - 8

Розв’язані вправи

- Вправа 1

Мураха рухається по цифровому рядку на рисунку 1. Починаючи з точки x = +3, він робить такі рухи:

-Переводиться 7 одиниць праворуч

-Зараз ви повернете 5 одиниць ліворуч

-Пройдіть ще 3 одиниці зліва.

-Відходить назад і рухається 4 одиниці праворуч.

У якому місці мураха в кінці туру?

Рішення

Назвемо переміщення D. Коли вони праворуч, їм дають позитивний знак, а коли ліворуч - негативний знак. Таким чином, і, починаючи з x = +3, ми маємо:

-Перший D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Секунда D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Третень D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Рома D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Коли мураха закінчить свою ходьбу, вона знаходиться в положенні х = +6. Тобто це 6 одиниць праворуч від 0 у числовому рядку.

- Вправа 2

Вирішіть таку операцію:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Рішення

Ця операція містить знаки групування, які є дужками, квадратними дужками і дужками. Вирішуючи, ви повинні подбати спочатку про дужки, потім дужки і, нарешті, дужки. Іншими словами, ви повинні працювати зсередини назовні.

У цій вправі точка являє собою множення, але якщо між числом і дужкою чи іншим символом немає крапки, вона також розуміється як добуток.

Нижче роздільної здатності крок за кроком кольори служать керівництвом для слідування результату зменшення дужок, які є найпотаємнішими символами групування:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Вправа 3

Розв’яжіть рівняння першого ступеня:

12 + х = 30 + 3х

Рішення

Терміни згруповані з невідомим зліва від рівності, а числові терміни праворуч:

х - 3х = 30 - 12

- 2х = 18

х = 18 / (-2)

х = - 9

Список літератури

1. Карена, М. 2019. Доуніверситетський посібник з математики. Національний університет Літоралу.
2. Фігера, Дж. 2000. Математика 7 класу. Видання CO-BO
3. Гофман, Дж. 2005. Вибір тем з математики. Публікації Monfort.
4. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Цілі числа. Відновлено з: Cimanet.uoc.edu.