РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА: ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ ТА ОПЕРАЦІЇ - МАТЕМАТИКА - 2024

У раціональних числах є все числа можуть бути отримані в вигляді розподілу двох цілих чисел. Прикладами раціональних чисел є: 3/4, 8/5, -16/3 та ті, які відображені на наступному малюнку. У раціональній кількості вказано коефіцієнт, який можливо зробити це пізніше, якщо потрібно.

Фігура представляє будь-який предмет, круглий для більшої зручності. Якщо ми хочемо розділити його на 2 рівні частини, як у правій частині, у нас залишилися дві половинки, і кожна стоїть 1/2.

Малюнок 1. Раціональні числа використовуються для поділу цілого на кілька частин. Джерело: Freesvg.

Розділивши його на 4 рівні частини, вийдемо 4 штуки і кожна стоїть 1/4, як на зображенні в центрі. І якщо її треба розділити на 6 рівних частин, кожна частина коштувала б 1/6, що ми бачимо на зображенні зліва.

Звичайно, ми також могли розділити його на дві нерівні частини, наприклад, ми могли зберегти 3/4 частини і зберегти 1/4 частини. Можливі й інші підрозділи, такі як 4/6 частин та 2/6 частин. Важливим є те, що сума всіх частин дорівнює 1.

У такий спосіб видно, що за допомогою раціональних чисел можна розділити, рахувати та розподіляти такі речі, як їжа, гроші, земля та всілякі предмети на дроби. І так збільшується кількість операцій, які можна виконати з числами.

Раціональні числа також можуть бути виражені в десятковій формі, як це видно в наступних прикладах:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Пізніше ми вкажемо, як перейти від однієї форми до іншої з прикладами.

Властивості раціональних чисел

Раціональні числа, набір яких ми позначимо буквою Q, мають такі властивості:

-Q включає натуральні числа N і цілі числа Z.

Беручи до уваги, що будь-яке число a може бути виражене як коефіцієнт між собою та 1, легко помітити, що серед раціональних чисел також є натуральні числа та цілі числа.

Таким чином, натуральне число 3 можна записати як дріб, а також -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Таким чином, Q - це числовий набір, який включає більшу кількість чисел, щось дуже необхідне, оскільки «круглі» числа недостатньо для опису всіх можливих операцій, які потрібно зробити.

-Раціональні числа можна додавати, віднімати, множити та ділити, результатом операції є раціональне число: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) х (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Між кожною парою раціональних чисел завжди можна знайти інше раціональне число. Насправді між двома раціональними числами існують нескінченні раціональні числа.

Наприклад, між раціоналами 1/4 та 1/2 знаходяться раціонали 3/10, 7/20, 2/5 (та багато іншого), які можна перевірити, виразивши їх як десяткові.

-Кожне раціональне число може бути виражене як: i) ціле число або ii) обмежене (суворе) або періодичне десяткове значення: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-Тих же кількість може бути представлена ​​нескінченними еквівалентними дробами, і всі вони належать до Q. Давайте подивимось цю групу:

Всі вони представляють десятковий 0,428571 …

-З усіх еквівалентних дробів, які представляють одне і те ж число, невідмінна частка, найпростіша з усіх, є канонічним представником цього числа. Канонічний представник наведеного вище прикладу - 3/7.

Малюнок 2.- Множина Q раціональних чисел. Джерело: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Приклади раціональних чисел

-Дробові дроби, ті, у яких чисельник менше знаменника:

-Прості дроби, чисельник яких більший за знаменник:

-Натуральні числа та цілі числа:

-Еквівалентні дроби:

Десяткове представлення раціонального числа

Коли чисельник ділиться на знаменник, знаходить десяткову форму раціонального числа. Наприклад:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

У перших двох прикладах кількість десяткових знаків обмежена. Це означає, що коли поділ виконано, остаточно виходить 0.

З іншого боку, у наступних двох кількість десяткових знаків нескінченна, і тому розміщується еліпсис. В останньому випадку є децимал. У випадку дробу 1/9 число 1 повторюється нескінченно, а в 6/11 - 54.

Коли це відбувається, десяткові кажуть як періодичні і позначаються таким чином каретою:

Перетворіть десятковий у дріб

Якщо це обмежений десятковий знак, кома просто усувається, а знаменник стає одиницею, за якою стоїть стільки нулів, скільки цифр у десятковій частині. Наприклад, щоб перетворити десятковий 1,26 у дріб, запишіть його так:

1,26 = 126/100

Потім отриману фракцію спрощують до максимуму:

126/100 = 63/50

Якщо десятків необмежено, спочатку визначається період. Потім виконуються ці кроки, щоб знайти отриману фракцію:

-Чисельник - це віднімання між числом (без коми і карети) і тією частиною, яка не має карети.

- Знаменник - це ціле число з такою ж кількістю 9, скільки є фігур під контуром, і стільки 0, скільки є цифр у десятковій частині, які не знаходяться під контуром.

Давайте слідуємо цій процедурі для перетворення десяткового числа 0,428428428… у дріб.

-По-перше, ідентифікується період, який є послідовністю, яка повторюється: 428.

-Тоді виконується операція віднімання числа без коми або наголосу: 0428 з тієї частини, яка не має обрізки, що дорівнює 0. Це, таким чином, 428 - 0 = 428.

-Займенник побудований, знаючи, що під круговиклом знаходяться 3 фігури і всі знаходяться під круговикном. Тому знаменник - 999.

-Зазвичай фракція формується та спрощується, якщо можливо:

0,428 = 428/999

Більше спростити неможливо.

Операції з раціональними числами

- Додавання і віднімання

Дроби з однаковим знаменником

Коли дроби мають однаковий знаменник, додавання та / або віднімання їх дуже легко, оскільки чисельники просто додаються алгебраїчно, залишаючи те саме, що додаються, як і в знаменнику результату. Нарешті, по можливості, це спрощується.

Приклад

Виконайте таке алгебраїчне додавання та спростіть результат:

Отримана фракція вже невідводима.

Дроби з різними знаменниками

У цьому випадку доповнення замінюються еквівалентними дробами з тим самим знаменником, після чого дотримується вже описана процедура.

Приклад

Додайте алгебраїчно наступні раціональні числа, спрощуючи результат:

Етапи:

-Визначте найменш поширене кратне (lcm) знаменників 5, 8 та 3:

lcm (5,8,3) = 120

Це буде знаменником отриманої дробу без спрощення.

-Для кожного дробу: розділіть LCM на знаменник і помножте на чисельник. Результат цієї операції розміщується з відповідним знаком у чисельнику дробу. Таким чином виходить частка, еквівалентна оригіналу, але з LCM як знаменника.

Наприклад, для першого дробу чисельник побудований так: (120/5) x 4 = 96 і отримаємо:

Аналогічно дійте для решти дробів:

Нарешті, еквівалентні дроби замінюються, не забуваючи їх ознаки, і здійснюється алгебраїчна сума чисельників:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Множення та ділення

Множення та ділення здійснюються, дотримуючись наведених нижче правил:

Малюнок 3. Правила множення та ділення раціональних чисел. Джерело: Ф. Сапата.

У будь-якому випадку важливо пам’ятати, що множення є комутативним, а це означає, що порядок факторів не змінює добуток. Це не відбувається при поділі, тому потрібно дотримуватися порядку між дивідендом та дільником.

Приклад 1

Виконайте наступні операції та спростіть результат:

а) (5/3) x (8/15)

б) (-4/5) ÷ (2/9)

Відповідь на

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Відповідь b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Приклад 2

Луїза мала 45 доларів. Десяту частину він витратив на покупку книги та 2/5 того, що залишилося на футболці. Скільки грошей у Луїзи залишилось? Висловіть результат у вигляді невідводимої частки.

Рішення

Вартість книги (1/10) х 45 доларів = 0,1 х 45 доларів = 4,5 долара

Тому Луїзу залишили:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

З цими грошима Луїза зайшла в магазин одягу і купила сорочку, ціна якої:

(2/5) x 40,5 $ = 16,2 $

Зараз у Луїзи є свій портфоліо:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Щоб виразити це як дріб, пишеться так:

24,3 = 243/10

Це невідводимо.

Список літератури

1. Бальдор, А. 1986. Арифметика. Видання та дистрибутивні кодекси.
2. Карена, М. 2019. Посібник з математики. Національний університет Літоралу.
3. Figuera, J. 2000. Математика 8. Ediciones Co-Bo.
4. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Раціональні числа. Відновлено з: Cimanet.uoc.edu.
6. Раціональні числа. Відновлено з: webdelprofesor.ula.ve.