ОПУКЛИЙ БАГАТОКУТНИК: ВИЗНАЧЕННЯ, ЕЛЕМЕНТИ, ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Кутника можна є геометричною фігурою , що міститься в площині , яка характеризується , тому що вона має всі свої діагоналей в його інтер'єрі і його кутів вимір менше , ніж 180 °. Серед його властивостей можна виділити наступні:

1) Він складається з n послідовних сегментів, де останній із сегментів приєднується до першого. 2) Жоден з відрізків не перетинається таким чином, щоб розмежувати площину у внутрішній і зовнішній області. 3) Кожен кут у внутрішній області суворо менший за площину.

Малюнок 1. Багатокутники 1, 2 і 6 є опуклими. (Підготував Рікардо Перес).

Простий спосіб визначити, багатокутник випуклий чи ні - розглянути лінію, що проходить через одну з його сторін, яка визначає дві півплощини. Якщо в кожній прямій, що проходить через одну сторону, інші сторони багатокутника знаходяться в одній половинній площині, то це опуклий багатокутник.

Елементи багатокутника

Кожен багатокутник складається з таких елементів:

- Сторони

- Вершини

Сторони - кожен із послідовних відрізків, що складають багатокутник. У багатокутнику жоден з сегментів, що його складають, не може мати відкритого кінця; у цьому випадку буде багатокутна лінія, але не багатокутник.

Вершини - точки з'єднання двох послідовних відрізків. У багатокутнику кількість вершин завжди дорівнює кількості сторін.

Якщо дві сторони або відрізки багатокутника перетинаються, то у вас є перехрещений багатокутник. Місце перетину не вважається вершиною. Перехресний багатокутник - це неопуклий багатокутник. Зіркові багатокутники є поперечними многокутниками і тому не є опуклими.

Коли у багатокутника всі його сторони однакові, то у нас є звичайний многокутник. Всі регулярні багатокутники опуклі.

Опуклі та неопуклі багатокутники

На малюнку 1 показано кілька многокутників, деякі з них опуклі, а деякі - ні. Проаналізуємо їх:

Число 1 - це тристоронній багатокутник (трикутник) і всі внутрішні кути менше 180º, тому це опуклий багатокутник. Всі трикутники - опуклі багатокутники.

Число 2 - чотиристоронній багатокутник (чотирикутник), де жодна із сторін не перетинається, а кожен внутрішній кут менше 180º. Тоді це опуклий багатокутник з чотирма сторонами (опуклий чотирикутник).

З іншого боку, число 3 - це багатокутник з чотирма сторонами, але один із його внутрішніх кутів більший за 180º, тому він не відповідає умові опуклості. Тобто це невипуклий чотиригранний багатокутник, який називається увігнутим чотирикутником.

Число 4 - багатокутник з чотирма відрізками (сторонами), два з яких перетинаються. Чотири внутрішніх кути менше 180º, але оскільки дві сторони перетинаються, це невипуклий перехрещений багатокутник (перехрещений чотирикутник).

Інший випадок - число 5. Це п'ятигранний багатокутник, але оскільки один із його внутрішніх кутів більший за 180º, то у нас є увігнутий багатокутник.

Нарешті, число 6, яке також має п’ять сторін, має всі свої внутрішні кути менше 180º, тому це опуклий багатокутник з п'ятьма сторонами (опуклий п’ятикутник).

Властивості опуклого многокутника

1- Непересічний багатокутник або простий багатокутник ділить площину, яка містить його, на дві області. Внутрішня і зовнішня область, полігон є кордоном між двома областями.

Але якщо багатокутник додатково опуклий, то у нас є внутрішня область, яка просто з'єднана, це означає, що, взявши будь-які дві точки з області інтер'єру, він завжди може бути з'єднаний сегментом, який повністю належить до області інтер'єру.

Малюнок 2. Опуклий багатокутник просто з'єднаний, а увігнутий - ні. (Підготував Рікардо Перес).

2- Кожен внутрішній кут опуклого багатокутника менший за площину кута (180º).

3- Всі внутрішні точки опуклого багатокутника завжди належать одній із напівплощин, визначених лінією, що проходить через дві послідовні вершини.

4- У опуклому багатокутнику всі діагоналі повністю містяться у внутрішній полігональній області.

5- Внутрішні точки опуклого багатокутника повністю належать опуклому кутовому сектору, визначеному кожним внутрішнім кутом.

6- Кожен багатокутник, у якому всі його вершини знаходяться по колу, - це опуклий багатокутник, який називається циклічним багатокутником.

7- Кожен циклічний багатокутник є опуклим, але не кожен опуклий багатокутник є циклічним.

8- Будь-який непересічний багатокутник (простий багатокутник), який має всі сторони однакової довжини, опуклий і відомий як регулярний багатокутник.

Діагоналі та кути у опуклих багатокутниках

9- Загальна кількість N діагоналей опуклого многокутника з n сторонами задається такою формулою:

N = ½ n (n - 3)

Доведення: У опуклому многокутнику з n сторонами кожної вершини намальовано n - 3 діагоналі, оскільки сама вершина та дві сусідні з них виключаються. Оскільки існує n вершин, то складається з n (n - 2) діагоналей, але кожна діагональ була намальована двічі, тому кількість діагоналей (без повторення) дорівнює n (n-2) / 2.

10- Сума S внутрішніх кутів опуклого многокутника з n сторонами задається таким співвідношенням:

S = (n - 2) 180º

Приклади

Приклад 1

Циклічний шестикутник - це багатокутник із шістьма сторонами та шістьма вершинами, але всі вершини знаходяться на одній окружності. Кожен циклічний багатокутник опуклий.

Циклічний шестикутник.

Приклад 2

Визначте значення внутрішніх кутів звичайного енегона.

Рішення: Енегон - це 9-сторонній багатокутник, але якщо він також регулярний, всі його сторони та кути рівні.

Сума всіх внутрішніх кутів 9-гранного багатокутника становить:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Але існує 9 внутрішніх кутів однакової міри α, тому необхідно виконати наступну рівність:

S = 9 α = 1260º

Звідси випливає, що мірою α кожного внутрішнього кута правильного енегона є:

α = 1260º / 9 = 140º