МУЛЬТИПЛІКАТИВНИЙ ПРИНЦИП: МЕТОДИ ПІДРАХУНКУ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Мультиплікативний принцип є методом , використовуваним для вирішення завдань підрахунку , щоб знайти рішення без необхідності перерахувати його елементи. Він також відомий як основний принцип комбінаторного аналізу; воно засноване на послідовному множенні, щоб визначити, як подія може статися.

Цей принцип стверджує, що якщо рішення (d ₁ ) може бути прийняте n способами, а інше рішення (d ₂ ) може бути прийнято m способами, загальна кількість способів, якими можна прийняти рішення d ₁ і d _2, буде дорівнює помножити з n _* m. Відповідно до принципу, кожне рішення приймається один за одним: кількість способів = N _{1 *} N ₂ … _* N _x способів.

Приклади

Приклад 1

Паула планує сходити в кіно з друзями, а щоб вибрати одяг, який вона буде носити, я розділяю 3 блузки та 2 спідниці. Скільки способів може одягатися Паула?

Рішення

У цьому випадку Паула повинна прийняти два рішення:

d ₁ = Виберіть між 3 блузками = n

d ₂ = Вибирайте між 2 спідницями = m

Таким чином Паула має n _* m рішення приймати або різні способи одягання.

n _* m = 3 _* 2 = 6 рішень.

Мультипликативний принцип народжується з техніки деревної діаграми, яка є діаграмою, яка пов'язує всі можливі результати, так що кожен може відбуватися в кінцевій кількості разів.

Приклад 2

Маріо був дуже спраглий, тож пішов до пекарні купити сік. Луїс піклується про нього і каже йому, що він буває двох розмірів: великий і малий; і чотири аромати: яблучний, апельсиновий, лимонний і виноградний. Скільки способів може Маріо вибрати сік?

Рішення

На діаграмі видно, що Маріо має 8 різних способів вибору соку і що, як і в мультиплікативному принципі, цей результат отримують шляхом множення n _* m. Єдина відмінність полягає в тому, що за допомогою цієї діаграми ви можете побачити, як виглядають способи, якими Маріо вибирає сік.

З іншого боку, коли кількість можливих результатів дуже велика, практичніше використовувати мультиплікативний принцип.

Прийоми підрахунку

Методи підрахунку - це методи, які використовуються для прямого підрахунку, і таким чином знають кількість можливих домовленостей, які можуть мати елементи даного набору. Ці методи базуються на кількох принципах:

Принцип додавання

Цей принцип стверджує, що якщо дві події m і n не можуть відбутися одночасно, то кількість способів, в яких може відбутися перша або друга подія, буде сумою m + n:

Кількість фігур = m + n… + x різних форм.

Приклад

Антоніо хоче здійснити подорож, але не вирішує, до якого пункту призначення; в Південному туристичному агентстві вони пропонують вам заохочувати поїздку до Нью-Йорка чи Лас-Вегаса, тоді як Східне агентство туризму рекомендує подорожувати до Франції, Італії чи Іспанії. Скільки різних варіантів подорожей пропонує вам Антоніо?

Рішення

У Південного туристичного агентства Антоніо є 2 альтернативи (Нью-Йорк чи Лас-Вегас), тоді як у Східного агентства туризму у нього є 3 варіанти (Франція, Італія чи Іспанія). Кількість різних альтернатив:

Кількість альтернатив = m + n = 2 + 3 = 5 альтернатив.

Принцип перестановки

Йдеться про те, щоб спеціально упорядкувати всі або деякі елементи, що складають набір, щоб полегшити підрахунок усіх можливих домовленостей, які можна зробити з елементами.

Кількість перестановок n різних елементів, взятих усі відразу, представлено як:

_n P _n = n!

Приклад

Четверо друзів хочуть сфотографуватися і хочуть знати, скільки різних способів їх можна організувати.

Рішення

Ви хочете знати набір усіх можливих способів розміщення 4-х людей для фотографування. Таким чином, ви повинні:

₄ Р ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 різних фігури.

Якщо кількість перестановок n доступних елементів приймається частинами набору, що складається з r елементів, воно представляється як:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Приклад

У класі 10 місць. Якщо 4 учні відвідують заняття, то скільки різних способів учні можуть заповнити позиції?

Рішення

Ми маємо на увазі, що загальна кількість наборів стільців становить 10, і з них буде використано лише 4. Дана формула застосовується для визначення кількості перестановок:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ Р ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ Р ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 способів заповнення позицій.

Бувають випадки, коли деякі доступні елементи набору повторюються (вони однакові). Для обчислення кількості масивів, що приймають усі елементи одночасно, використовується наступна формула:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Приклад

Скільки різних чотири літерних слів можна утворити від слова «вовк»?

Рішення

У цьому випадку є 4 елементи (літери), два з яких абсолютно однакові. Застосувавши задану формулу, відомо, скільки результатів мають різні слова:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ Р _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ Р _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 різних слів.

Принцип комбінування

Йдеться про упорядкування всіх або деяких елементів, що складають набір без конкретного порядку. Наприклад, якщо у вас є схема XYZ, вона буде ідентичною серед домовленостей ZXY, YZX, ZYX; це тому, що, не дивлячись на те, що вони не в одному порядку, елементи кожної композиції однакові.

Коли деякі елементи (r) взяті з множини (n), принцип комбінації задається наступною формулою:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Приклад

У магазині вони продають 5 різних видів шоколаду. Скільки різних способів можна вибрати 4 шоколадних цукерок?

Рішення

У цьому випадку 4 шоколадних цукерок потрібно вибрати з 5 видів, які вони продають у магазині. Порядок, в якому вони вибираються, не має значення, а крім того, тип шоколаду можна вибирати більше ніж удвічі. Застосовуючи формулу, ви повинні:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 різних способів вибору 4 шоколадних цукерок.

Коли всі елементи (r) множини (n) взяті, принцип комбінації задається наступною формулою:

_n C _{n =} n!

Розв’язані вправи

Вправа 1

Є бейсбольна команда з 14 членами. Скількома способами може бути призначено 5 позицій для гри?

Рішення

Набір складається з 14 елементів, і вам потрібно призначити 5 певних позицій; тобто порядок питань. Формула перестановки застосовується там, де n наявних елементів беруть частини набору, утвореного r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Де n = 14 і r = 5. Він заміщений у формулі:

₁₄ Р ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ Р ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 способів призначити 9 ігрових позицій.

Вправа 2

Якщо сім'я з 9 років вирушає в поїздку і купує свої квитки з місцями поспіль, то скільки різних способів вони можуть сісти?

Рішення

Йдеться про 9 елементів, які займатимуть 9 місць поспіль.

Р ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 різних способів сидіння.

Список літератури

1. Хопкінс, Б. (2009). Ресурси для викладання дискретної математики: навчальні проекти, модулі історії та статті.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Дискретна математика. Pearson Education,.
3. Лутфія, Л.А. (2012). Кінцеве та дискретне вирішення задач з математики. Редактори науково-освітніх асоціацій
4. Падро, ФК (2001). Дискретна математика. Politèc. Каталонії.
5. Штейнер, Е. (2005). Математика для прикладних наук. Поверніть.