ПЕРЕХРЕСНИЙ ПРОДУКТ: ВЛАСТИВОСТІ, ЗАСТОСУВАННЯ ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Векторний добуток або векторне твір представляє собою спосіб множення двох або більше векторів. Існує три способи множення векторів, але жоден із них не є множенням у звичному розумінні цього слова. Одна з цих форм відома як векторний продукт, в результаті якого виникає третій вектор.

Поперечний продукт, який також називають поперечним продуктом або зовнішнім твором, має різні алгебраїчні та геометричні властивості. Ці властивості дуже корисні, особливо з точки зору вивчення фізики.

Визначення

Формальне визначення векторного добутку таке: якщо A = (a1, a2, a3) і B = (b1, b2, b3) є векторами, то векторний добуток A і B, який ми позначимо як AxB, це:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Через позначення AxB його читають як "Хрест В".

Прикладом використання зовнішнього продукту є те, що якщо A = (1, 2, 3) і B = (3, -2, 4) є векторами, то, використовуючи визначення векторного продукту, ми маємо:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Інший спосіб вираження векторного продукту подається позначенням детермінант.

Розрахунок визначника другого порядку задається:

Отже, формула перехресного продукту, наведена у визначенні, може бути переписана так:

Зазвичай це спрощується в детермінант третього порядку наступним чином:

Де i, j, k являють собою вектори, що складають основу R ³ .

Використовуючи такий спосіб вираження перехресного продукту, ми маємо, що попередній приклад можна переписати як:

Властивості

Деякі властивості, якими володіє векторний продукт, такі:

Власність 1

Якщо A - будь-який вектор у R ³ , маємо:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ці властивості легко перевірити, використовуючи лише визначення. Якщо A = (a1, a2, a3), маємо:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Якщо i, j, k являють собою одиницю бази R ³ , ми можемо записати їх так:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Отже, ми маємо, що такі властивості справжні:

Як мнемонічне правило, часто використовується наступне коло для запам'ятовування цих властивостей:

Тут ми повинні зауважити, що будь-який вектор із собою дає вектор 0 в результаті, а решту продуктів можна отримати за наступним правилом:

Поперечний добуток двох послідовних векторів за годинниковою стрілкою дає наступний вектор; і коли враховується напрямок проти годинникової стрілки, результатом є наступний вектор з негативним знаком.

Завдяки цим властивостям ми бачимо, що векторний продукт не є комутативним; наприклад, просто зауважте, що ixj ≠ jx i. Наступна властивість розповідає про те, як взагалі пов'язані AxB та BxA.

Властивість 2

Якщо A і B є векторами R ³ , маємо:

AxB = - (BxA).

Демонстрація

Якщо A = (a1, a2, a3) і B = (b1, b2, b3), за визначенням зовнішнього добутку маємо:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Ми також можемо побачити, що цей продукт не асоціативний із наступним прикладом:

ix (ixj) = ixk = - j, але (ixi) xj = 0xj = 0

З цього ми бачимо, що:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Властивість 3

Якщо A, B, C - це вектори R ^3, а r - дійсне число, то справедливо наступне:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Завдяки цим властивостям ми можемо обчислити векторний добуток, використовуючи закони алгебри, за умови дотримання порядку. Наприклад:

Якщо A = (1, 2, 3) і B = (3, -2, 4), ми можемо їх переписати з точки зору канонічної основи R ³ .

Таким чином, A = i + 2j + 3k і B = 3i - 2j + 4k. Потім, застосувавши попередні властивості:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Властивість 4 (продукт із потрійними крапками)

Як ми згадували на початку, існують й інші способи множення векторів, крім векторного продукту. Одним із таких способів є скалярний добуток або внутрішній продукт, який позначається як A ∙ B і визначенням якого є:

Якщо A = (a1, a2, a3) і B = (b1, b2, b3), то A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Властивість, що стосується обох продуктів, відома як потрійний скалярний продукт.

Якщо A, B і C - вектори R ³ , то A ∙ BxC = AxB ∙ C

Як приклад, побачимо, що, задавши A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) і C = (- 5, 1, - 4), ця властивість задоволена.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

З іншої сторони:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Інший потрійний продукт - Ax (BxC), який відомий як продукт потрійного вектора.

Властивість 5 (потрійний векторний продукт)

Якщо A, B і C - вектори R ³ , то:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Як приклад, побачимо, що, задавши A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) і C = (- 5, 1, - 4), ця властивість задоволена.

З попереднього прикладу ми знаємо, що BxC = (- 18, - 22, 17). Обчислимо Ax (BxC):

Сокира (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

З іншого боку, ми повинні:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Таким чином, ми повинні:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Власність 6

Це одна з геометричних властивостей векторів. Якщо A і B - два вектори в R ^3, а ϴ - кут, утворений між ними, то:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), де - ∙ - позначає модуль або величину вектора.

Геометрична інтерпретація цієї властивості полягає в наступному:

Нехай A = PR і B = PQ. Отже, кут, утворений векторами A і B, є кутом P трикутника RQP, як показано на наступному малюнку.

Тому площа паралелограма, що має PR та PQ як сусідні сторони, - AA B B - sin (ϴ), оскільки ми можемо взяти -A-- за основу, а його висота задається --B - гріх (ϴ).

Тому можна зробити висновок, що - AxB-- - область зазначеного паралелограма.

Приклад

З огляду на наступні вершини чотирикутника P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) і S (5,7, -3), видно, що зазначений чотирикутник є паралелограмом і знайдіть його площу.

Для цього спочатку визначаємо вектори, які визначають напрямок сторін чотирикутника. Це:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Як ми бачимо, A і C мають однаковий вектор директора, для якого ми обидва паралельні; те саме відбувається з B і D. Тому ми робимо висновок, що PQRS - паралелограм.

Щоб мати площу цього паралелограма, обчислюємо BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Тому площа в квадраті буде:

- BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Можна зробити висновок, що площа паралелограма буде квадратним коренем 89.

Властивість 7

Два вектори A і B паралельні R ³ тоді і тільки тоді, коли AxB = 0

Демонстрація

Зрозуміло, що якщо A або B - нульовий вектор, виконується AxB = 0. Оскільки нульовий вектор паралельний будь-якому іншому вектору, то властивість дійсна.

Якщо жоден з двох векторів не є нульовим вектором, маємо, що їх величини відрізняються від нуля; тобто обидва - A-- ≠ 0 і - B-- ≠ 0, тож у нас буде --AxB-- = 0, якщо і тільки тоді, коли sin (ϴ) = 0, і це відбувається, якщо і тільки якщо ϴ = π або ϴ = 0.

Тому ми можемо зробити висновок AxB = 0 тоді і лише тоді, коли ϴ = π або ϴ = 0, що відбувається лише тоді, коли обидва вектора паралельні один одному.

Властивість 8

Якщо A і B - два вектори в R ³ , то AxB перпендикулярний як A, так і B.

Демонстрація

Для цього доведення згадаймо, що два вектори перпендикулярні, якщо A ∙ B дорівнює нулю. Крім того, ми знаємо, що:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, але AxA дорівнює 0. Отже, маємо:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Цим можна зробити висновок, що A і AxB перпендикулярні один одному. Аналогічно, ми повинні:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Оскільки BxB = 0, ми маємо:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Тому AxB і B перпендикулярні один одному і з цим демонструється властивість. Це дуже корисно для нас, оскільки вони дозволяють визначити рівняння площини.

Приклад 1

Отримаємо рівняння площини, яка проходить через точки P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) і R (2, 1, 3).

Нехай A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) і B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Тоді A = - i + 3j + k і B = i - 2j + k. Щоб знайти площину, утворену цими трьома точками, досить знайти вектор, нормальний для площини, який є AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

За допомогою цього вектора і, приймаючи точку P (1, 3, 2), ми можемо визначити рівняння площини так:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Таким чином, маємо, що рівняння площини 5x + 2y - z - 9 = 0.

Приклад 2

Знайдіть рівняння площини, що містить точку P (4, 0, - 2) і перпендикулярну до кожної з площин x - y + z = 0 і 2x + y - 4z - 5 = 0.

Знаючи, що нормальний вектор до площини ax + на + cz + d = 0 є (a, b, c), маємо, що (1, -1,1) є нормальним вектором x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) - нормальний вектор 2х + у - 4з - 5 = 0.

Тому нормальний вектор до шуканої площини повинен бути перпендикулярним до (1, -1,1) та до (2, 1, - 4). Цей вектор:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Тоді ми маємо, що шукана площина є тією, яка містить точку P (4,0, - 2) і має вектор (3,6,3) як звичайний вектор.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Програми

Розрахунок об’єму паралелепіпеда

Додаток, що має потрійний скалярний добуток, повинен мати можливість обчислити об'єм паралелепіпеда, ребра якого задані векторами A, B і C, як показано на малюнку:

Ми можемо вивести цю програму наступним чином: як ми говорили раніше, вектор AxB - це вектор, нормальний для площин A і B. Ми також маємо, що вектор - (AxB) - ще один вектор, нормальний для зазначеної площини.

Вибираємо нормальний вектор, який утворює найменший кут з вектором С; Не втрачаючи загальності, нехай AxB є вектором, кут якого з C найменший.

Ми маємо, що і AxB, і C мають однакову вихідну точку. Крім того, ми знаємо, що площа паралелограма, яка утворює основу паралелепіпеда, є - AxB--. Тому, якщо висоту паралелепіпеда задати h, маємо, що його об'єм буде:

V = --AxB - год.

З іншого боку, розглянемо точковий добуток між AxB і C, який можна описати так:

Однак за тригонометричними властивостями маємо, що h = --C - cos (ϴ), тому маємо:

Таким чином, ми маємо це:

Загалом маємо, що об'єм паралелепіпеда задається абсолютним значенням потрійного скалярного добутку AxB ∙ C.

Розв’язані вправи

Вправа 1

З огляду на точки P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) і S = (2, 6, 9), ці точки утворюють паралелепіпед, ребра якого це PQ, PR та PS. Визначте об’єм зазначеного паралелепіпеда.

Рішення

Якщо ми візьмемо:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Використовуючи властивість потрійного скалярного продукту, ми маємо:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Тому маємо, що об'єм зазначеного паралелепіпеда дорівнює 52.

Вправа 2

Визначте об'єм паралелепіпеда, ребра якого задані A = PQ, B = PR і C = PS, де точки P, Q, R і S є (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) і (2, 2, 5) відповідно.

Рішення

Спочатку маємо, що A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Обчислимо AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Тоді обчислюємо AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Таким чином, робимо висновок, що об'єм зазначеного паралелепіпеда дорівнює 1 кубічній одиниці.

Список літератури

1. Лейтхолд, Л. (1992). Розрахунок з аналітичною геометрією. HARLA, SA
2. Реснік, Р., Халлідей, Д., Кран, К. (2001). Фізика Т. 1. Мексика: континентальний.
3. Saenz, J. (nd). Обчислення вектор 1ed. Гіпотенуза.
4. Шпігель, MR (2011). Векторіальний аналіз 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Обчислення декількох змінних 4ed. Mc Graw Hill.