ВЛАСТИВОСТІ РІВНОСТІ - МАТЕМАТИКА - 2026

У властивості рівності ставиться до відносин між двома математичними об'єктами, чи є вони числами або змінними. Позначається символом "=", який завжди проходить між цими двома об'єктами. Цей вираз використовується для встановлення того, що два математичні об'єкти представляють один і той же об'єкт; інакше кажучи, що два об'єкти - це одне і те ж.

Бувають випадки, коли тривіально використовувати рівність. Наприклад, зрозуміло, що 2 = 2. Однак, коли мова йде про змінні, вона більше не є тривіальною і має специфічне використання. Наприклад, якщо у нас є y = x, а з іншого боку x = 7, ми можемо зробити висновок, що y = 7.

Наведений вище приклад ґрунтується на одній із властивостей рівності, як ви побачите незабаром. Ці властивості мають важливе значення для вирішення рівнянь (рівностей, що включають змінні), які складають дуже важливу частину математики.

Які властивості рівності?

Світловідбиваюча властивість

Властивість рефлексиву у випадку рівності стверджує, що кожне число дорівнює самому собі і виражається як b = b для будь-якого дійсного числа b.

В конкретному випадку рівності ця властивість здається очевидною, але в інших типах зв’язків між числами це не так. Іншими словами, не кожна реальна співвідношення чисел відповідає цій властивості. Наприклад, такий випадок відношення "менше" (<); жодна кількість не менша, ніж вона сама.

Симетрична властивість

Симетрична властивість рівності говорить про те, що якщо a = b, то b = a. Незалежно від того, який порядок використовується у змінних, він буде зберігатися відношенням рівності.

Певна аналогія цієї властивості з комутативною властивістю може спостерігатися у разі додавання. Наприклад, через цю властивість еквівалентно записати y = 4 або 4 = y.

Перехідна властивість

Перехідна властивість щодо рівності говорить про те, що якщо a = b і b = c, то a = c. Наприклад, 2 + 7 = 9 і 9 = 6 + 3; тому за перехідною властивістю маємо, що 2 + 7 = 6 + 3.

Проста заявка полягає в наступному: припустимо, що Джуліану 14 років, а Маріо того ж віку, що і Роза. Якщо Роза ровесника Хуліану, то скільки років Маріо?

За цим сценарієм перехідна властивість використовується двічі. Математично це інтерпретується так: нехай "а" буде віком Маріо, "б" віком Рози і "с" віком Джуліана. Відомо, що b = c і що c = 14.

За перехідною властивістю маємо, що b = 14; тобто Розі 14 років. Оскільки a = b і b = 14, використовуючи знову перехідну властивість, маємо, що a = 14; тобто вік Маріо теж 14 років.

Єдина власність

Єдина властивість полягає в тому, що якщо обидві сторони рівності додати або помножити на однакову суму, рівність зберігається. Наприклад, якщо 2 = 2, то 2 + 3 = 2 + 3, що зрозуміло, оскільки 5 = 5. Ця властивість є найбільш корисною при спробі розв’язати рівняння.

Наприклад, припустимо, вам запропоновано розв’язати рівняння x-2 = 1. Зручно пам'ятати, що розв’язування рівняння складається з явного визначення включеної змінної (або змінних) на основі конкретного числа або раніше заданої змінної.

Повернувшись до рівняння х-2 = 1, що вам потрібно зробити, - явно знайти, скільки коштує х. Для цього змінну необхідно очистити.

Неправильно вчили, що в цьому випадку, оскільки число 2 від’ємне, воно переходить на іншу сторону рівності з позитивним знаком. Але це неправильно так сказати.

В основному те, що ви робите, - це застосовувати єдину властивість, як ми побачимо нижче. Ідея полягає в тому, щоб очистити "х"; тобто залиште його в спокої на одній стороні рівняння. За умовами, це зазвичай залишається з лівого боку.

Для цього число "ліквідувати" - -2. Шлях зробити це було б додаванням 2, оскільки -2 + 2 = 0 і x + 0 = 0. Для цього, не змінюючи рівності, та ж операція повинна бути застосована і до іншої сторони.

Це дозволяє нам реалізувати рівномірну властивість: оскільки x-2 = 1, якщо число 2 додано з обох сторін рівності, однакова властивість говорить, що вона не змінена. Тоді маємо, що x-2 + 2 = 1 + 2, що еквівалентно тому, що x = 3. З цим рівняння було б вирішено.

Аналогічно, якщо ви хочете розв'язати рівняння (1/5) y-1 = 9, ви можете продовжити використання однорідної властивості так:

Більш загально можна зробити наступні твердження:

- Якщо ab = cb, то a = c.

- Якщо xb = y, то x = y + b.

- Якщо (1 / a) z = b, то z = a ×

- Якщо (1 / c) a = (1 / c) b, то a = b.

Властивість скасування

Властивість скасування - це особливий випадок рівномірного властивості, особливо з огляду на випадок віднімання та ділення (які, в основному, також відповідають складенню та множенню). Ця властивість розглядає цей випадок окремо.

Наприклад, якщо 7 + 2 = 9, то 7 = 9-2. Або якщо 2y = 6, то y = 3 (ділення на два з обох сторін).

Аналогічно попередньому випадку, наступні твердження можна встановити через властивість скасування:

- Якщо a + b = c + b, то a = c.

- Якщо x + b = y, то x = yb.

- Якщо az = b, то z = b / a.

- Якщо ca = cb, то a = b.

Заміна власності

Якщо ми знаємо значення математичного об'єкта, властивість підстановки зазначає, що це значення може бути заміщене в будь-якому рівнянні чи виразі. Наприклад, якщо b = 5 і a = bx, то замінюючи значення "b" у другій рівності, маємо, що a = 5x.

Інший приклад - такий: якщо "m" ділить "n", а також "n" ділить "m", то ми повинні мати, що m = n.

Дійсно, сказати, що «m» ділить «n» (або рівнозначно, що «m» є дільником на «n») означає, що поділ m ÷ n є точним; тобто ділення "m" на "n" дає ціле число, а не десяткове. Це можна виразити, сказавши, що існує ціле число "k", таке, що m = k × n.

Оскільки "n" також ділить "m", то існує ціле число "p" таке, що n = p × m. Через властивість підстановки маємо, що n = p × k × n, і щоб це сталося, є дві можливості: n = 0, у цьому випадку ми мали б тотожність 0 = 0; op × k = 1, отже, тотожність n = n.

Припустимо, "n" - це нульове значення. Тоді обов'язково p × k = 1; тому p = 1 і k = 1. Знову використовуючи властивість підстановки, замінивши k = 1 в рівність m = k × n (або еквівалентно, p = 1 в n = p × m), ми нарешті отримаємо те m = n, що ми хотіли довести.

Властивість влади в рівності

Так само, як раніше було видно, що якщо така операція, як додавання, множення, віднімання або ділення виконується в обох термінах рівності, вона зберігається, таким же чином можуть застосовуватися й інші операції, що не змінюють рівність.

Ключовим є завжди виконувати його з обох сторін рівності і заздалегідь переконатися, що операцію можна виконати. Такий випадок розширення прав і можливостей; тобто, якщо обидві сторони рівняння підняті до однієї сили, у нас все одно буде рівність.

Наприклад, оскільки 3 = 3, так 3 ² = 3 ² (9 = 9). Загалом, задавши ціле число "n", якщо x = y, то x ⁿ = y ⁿ .

Властивість кореня в рівності

Це окремий випадок розширення можливостей і застосовується, коли потужність є нецілим раціональним числом, таким як ½, що представляє квадратний корінь. Ця властивість зазначає, що якщо один і той же корінь застосовувати до обох сторін рівності (коли це можливо), рівність зберігається.

На відміну від попереднього випадку, тут ви повинні бути обережними з паритетом кореня, який слід застосувати, оскільки добре відомо, що парний корінь від'ємного числа недостатньо визначений.

У випадку, якщо радикал рівний, проблем немає. Наприклад, якщо x ³ = -8, хоча це рівність, ви не можете застосувати квадратний корінь з обох сторін, наприклад. Однак якщо ви можете застосувати кубічний корінь (що ще зручніше, якщо ви хочете чітко знати значення х), отримуючи таким чином, що x = -2.

Список літератури

1. Ейлвін, КС (2011). Логіка, набори та числа. Меріда - Венесуела: Рада з публікацій, Університет де Лос-Анд.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Поріг.
3. Ліра, ML (1994). Саймон і математика: текст математики для другого класу: книга учня. Андрес Белло.
4. Preciado, CT (2005). Курс математики 3-й. Редакція Progreso.
5. Сеговія, БР (2012). Математичні заняття та ігри з Мігелем та Лусією. Балдомеро Рубіо Сеговія.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2-й курс математики. Редакція Progreso.