КОПЛАНАРНІ ТОЧКИ: РІВНЯННЯ, ПРИКЛАД ТА РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Усі копланарні точки належать одній площині. Дві точки завжди копланарні, оскільки ці точки визначають лінію, через яку проходять нескінченні площини. Тоді обидві точки належать до кожної з площин, які проходять через лінію, і тому вони завжди будуть копланарними.

З іншого боку, три точки визначають одну площину, з якої випливає, що три точки завжди будуть копланарними щодо визначеної ними площини.

Малюнок 1. A, B, C і D є площинними площиною (Ω). E, F і G не є копланарними до (Ω), але вони є копланарними до площини, яку вони визначають. Джерело: Ф. Сапата.

Більше трьох точок може бути копланарним чи ні. Наприклад, на малюнку 1 точки A, B, C і D є копланарними до площини (Ω). Але E, F і G не є копланарними до (Ω), хоча вони є копланарними до площини, яку вони визначають.

Рівняння площини дано три точки

Рівняння площини, визначене трьома відомими точками A, B, C, є математичним відношенням, яке гарантує, що будь-яка точка P із загальними координатами (x, y, z), що відповідає рівнянню, належить до зазначеної площини.

Попереднє твердження еквівалентно тому, що якщо P координат (x, y, z) відповідає рівнянню площини, то зазначена точка буде копланарною з трьома точками A, B, C, які визначали площину.

Щоб знайти рівняння цієї площини, почнемо з знаходження векторів AB і AC :

AB =

AC = =

Векторний добуток AB X AC призводить до того, що вектор, перпендикулярний або нормальний до площини, визначений точками A, B, C.

Будь-яка точка P з координатами (x, y, z) належить площині, якщо вектор AP перпендикулярний вектору AB X AC , що гарантується, якщо:

AP • (AB X AC) = 0

Це рівнозначно тому, що потрійний добуток AP , AB і AC дорівнює нулю. Наведене рівняння можна записати у матричній формі:

Приклад

Нехай точки A (0, 1, 2); Б (1, 2, 3); C (7, 2, 1) і D (a, 0, 1). Яке значення має мати чотири точки, щоб бути копланарними?

Рішення

Щоб знайти значення a, точка D повинна бути частиною площини, визначеної A, B і C, що гарантується, якщо вона задовольняє рівнянню площини.

Розвиваючи визначник, ми маємо:

Попереднє рівняння говорить нам про те, що a = -1 для виконання рівності. Іншими словами, єдиний спосіб, коли точка D (a, 0,1) є копланарною з точками A, B і C, для a дорівнює -1. Інакше це не буде копланарним.

Розв’язані вправи

- Вправа 1

Площина перетинає декартові осі X, Y, Z на 1, 2 та 3 відповідно. Перетин цієї площини з осями визначає точки A, B і C. Знайдіть компонент Dz точки D, декартовими компонентами є:

За умови, що D є копланарним з точками A, B і C.

Рішення

Коли відомі перехоплення площини з декартовими осями, може використовуватися сегментарна форма рівняння площини:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Оскільки точка D повинна належати попередній площині, вона повинна:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Тобто:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

З вищевикладеного випливає, що точка D (3, -2, -3) є копланарною з точками A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) і C (0, 0, 3).

- Вправа 2

Визначте, чи точки A (0, 5, 3); Б (0, 6, 4); C (2, 4, 2) і D (2, 3, 1) є копланарними.

Рішення

Формуємо матрицю, рядки якої є координатами DA, BA та CA. Тоді обчислюється визначник і перевіряється, чи дорівнює нулю.

Після виконання всіх обчислень робиться висновок, що вони є копланарними.

- Вправа 3

У просторі є дві лінії. Один з них - лінія (R), параметричне рівняння якої:

А інша - лінія (S), рівняння якої:

Покажіть, що (R) і (S) - копланарні лінії, тобто вони лежать в одній площині.

Рішення

Почнемо з довільного взяття двох точок на прямій (R) і двох на прямій (S):

Рядок (R): λ = 0; A (1, 1, 1) і λ = 1; B (3, 0, 1)

Нехай x = 0 на рядку (S) => y = ½; C (0, ½, -1). А з іншого боку, якщо складемо y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Тобто ми взяли точки A і B, які належать прямій (R), і точки C і D, які належать прямій (S). Якщо ці точки є копланарними, то і два прямі будуть занадто.

Тепер ми вибираємо точку А як опорну, а потім знаходимо координати векторів AB , AC і AD. Таким чином ви отримуєте:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Наступним кроком є ​​побудова та обчислення визначника, першим рядком якого є коефіцієнти вектора AB , другий ряд - коефіцієнти змінного струму, а третій ряд - значення векторного AD :

Оскільки визначник виявляється нульовим, то можна зробити висновок, що чотири точки є копланарними. Крім того, можна констатувати, що лінії (R) і (S) також є копланарними.

- Вправа 4

Прямі (R) і (S) є копланарними, як показано вправі 3. Знайдіть рівняння площини, яка їх містить.

Рішення

Точки A, B, C повністю визначають цю площину, але ми хочемо нав'язати, що будь-яка точка X координат (x, y, z) належить їй.

Щоб X належав до площини, визначеної A, B, C і в якій містяться лінії (R) і (S), необхідно, щоб визначник, утворений у першому ряду компонентами AX , у другому ряду від AB і в третьому - від AC :

Після цього результату ми групуємось таким чином:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

І відразу ви бачите, що це можна переписати так:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Тому x + 2y - z = 2 - рівняння площини, яка містить прямі (R) і (S).

Список літератури

1. Флемінг, W. 1989. Математика прекалькуляції. Prentice Hall PTR.
2. Колман, Б. 2006. Лінійна алгебра. Пірсон освіта.
3. Leal, JM 2005. Плоска аналітична геометрія. Меріда - Венесуела: Редакція Венезолана Каліфорнія
4. Наварро, Росіо. Вектори. Відновлено з: books.google.co.ve.
5. Перес, CD 2006. Попередній розрахунок. Пірсон освіта.
6. Prenowitz, W. 2012. Основні поняття геометрії. Rowman & Littlefield
7. Салліван, М. 1997. Precalculus. Пірсон освіта.