Він називається відносно простим (коприм або є відносно простим один одному), щоб будь-яка пара цілих чисел не мала спільного дільника, крім 1.
Іншими словами, цілі числа є відносними простими числами, якщо при їхньому розкладі на прості числа вони не мають спільного множника.
Наприклад, якщо обрано 4 і 25, прості коефіцієнти кожної з них становлять 2 і 5² відповідно. Як видно, ці загальні фактори не мають, тому 4 і 25 є відносними праймерами.
З іншого боку, якщо вибирати 6 і 24, виконуючи їх розкладання на прості коефіцієнти, отримуємо, що 6 = 2 * 3 і 24 = 2³ * 3.
Як бачимо, ці два останні вирази мають принаймні один фактор спільного, тому вони не є відносними примерами.
Відносні родичі
Однією деталлю, з якою слід бути обережним, є те, що сказати, що пара цілих чисел є відносними простими числами, не означає, що будь-яке з них є простими.
З іншого боку, вищезазначене визначення можна підсумувати наступним чином: два цілі числа "a" і "b" є відносними простими простими числами, якщо і лише тоді, якщо найбільший спільний дільник з них - 1, тобто gcd ( a, b) = 1.
Два негайних висновку з цього визначення:
-Якщо «a» (або «b») є простим числом, тоді gcd (a, b) = 1.
-Якщо «a» і «b» - прості числа, то gcd (a, b) = 1.
Тобто, якщо хоча б одне з обраних чисел є простим числом, то безпосередньо пара чисел є відносними простими числами.
Інші особливості
Інші результати, які використовуються для визначення того, чи є два числа відносними простыми числами:
-Якщо два цілих числа послідовні, то вони відносні прості.
-Дві натуральні числа "a" і "b" є відносними простыми числами, якщо і лише тоді, якщо числа "(2 ^ a) -1" і "(2 ^ b) -1" є відносними простыми числами.
-Дві цілі числа «a» і «b» є відносними простими простими числами тоді і тільки тоді, коли графік точки (a, b) в декартовій площині та побудови лінії, що проходить через початок (0,0) і ( a, b), вона не містить жодної точки з цілими координатами.
Приклади
1.- Розглянемо цілі числа 5 та 12. Розклади в простих множниках обох чисел: 5 та 2² * 3 відповідно. На закінчення gcd (5,12) = 1, отже, 5 і 12 є відносними праймерами.
2.– Нехай числа -4 і 6. Тоді -4 = -2² і 6 = 2 * 3, так що РК (-4,6) = 2 ≠ 1. У висновку -4 і 6 не є відносними праймерами.
Якщо ми перейдемо до графіку прямої, яка проходить через впорядковані пари (-4,6) та (0,0), та визначимо рівняння зазначеної лінії, можна перевірити, чи проходить вона через точку (-2,3).
Знову робимо висновок, що -4 і 6 не є відносними праймерами.
3.- Числа 7 і 44 є відносними простими простими рівнями, і це можна швидко укласти завдяки сказаному вище, оскільки 7 є простим числом.
4.- Розглянемо числа 345 і 346. Будучи двома підрядними числами, перевірено, що gcd (345,346) = 1, отже, 345 і 346 є відносними простими.
5.- Якщо вважати числа 147 і 74, то це відносні прості, оскільки 147 = 3 * 7² і 74 = 2 * 37, тому РК (147,74) = 1.
6.– Числа 4 і 9 є відносними примерами. Щоб продемонструвати це, можна використовувати другу згадану вище характеристику. Дійсно, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 і 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Отримані числа 15 і 511. Прості множники цих чисел відповідно 3 * 5 і 7 * 73, так що РК (15,511) = 1.
Як бачите, використання другої характеристики - це довша і більш трудомістка робота, ніж перевірка її безпосередньо.
7.— Розгляньте числа -22 та -27. Тоді ці числа можна переписати так: -22 = -2 * 11 і -27 = -3³. Тому gcd (-22, -27) = 1, тому -22 і -27 є відносними праймерами.
Список літератури
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Вступ до теорії чисел. EUNED.
- Бурдон, PL (1843). Арифметичні елементи. Бібліотека вдів і дітей Калледжа.
- Castañeda, S. (2016). Основний курс теорії чисел. Північний університет.
- Гевара, штат MH (другий). Набір цілих чисел. EUNED.
- Вищий інститут підготовки вчителів (Іспанія), JL (2004). Числа, форми та обсяги в дитячому середовищі. Міністерство освіти.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Практична математика: арифметика, алгебра, геометрія, тригонометрія і правило слайдів (перевидання ред.). Поверніть.
- Рок, НМ (2006). Алгебра я проста! Так легко. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Алгебра. Пірсон освіта.
- Szecsei, D. (2006). Основна математика та попередня алгебра (ілюстровано ред.). Кар'єра Прес.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2-й курс математики. Редакція Progreso.
- Вагнер, Г., Каїкедо, А., Колорадо, Х. (2010). Основні принципи арифметики. ELIZCOM SAS