АЛГЕБРАЇЧНІ МІРКУВАННЯ (З РОЗВ’ЯЗАНИМИ ВПРАВАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

Алгебраїчне міркування по суті складається математичний аргумент передачі через спеціальну мову, що робить його більш жорсткі і загальні змінні з допомогою алгебраїчних операцій , визначених і один з одним. Характерною ознакою математики є логічна суворість та абстрактна тенденція, використана в її аргументах.

Для цього потрібно знати правильну "граматику", яку слід використовувати в цьому письмі. Крім того, алгебраїчне міркування дозволяє уникнути неоднозначностей у виправданні математичного аргументу, що має важливе значення для доведення будь-якого результату в математиці.

Алгебраїчні змінні

Алгебраїчна змінна - це просто змінна (літера чи символ), яка представляє певний математичний об'єкт.

Наприклад, букви x, y, z часто використовуються для представлення чисел, що задовольняють заданому рівнянню; літери p, qr для подання пропозиційних формул (або їх відповідних великих літер для подання конкретних пропозицій); і букви A, B, X тощо, щоб представити множини.

Термін "змінна" підкреслює, що предмет, про який йде мова, не є фіксованим, а змінюється. Такий випадок рівняння, в якому змінні використовуються для визначення розв’язків, які в принципі невідомі.

Загалом, алгебраїчну змінну можна розглядати як букву, яка представляє якийсь об'єкт, незалежно від того, фіксований він чи ні.

Так само, як алгебраїчні змінні використовуються для представлення математичних об'єктів, ми також можемо розглядати символи для відображення математичних операцій.

Наприклад, символ "+" являє собою операцію "додавання". Іншими прикладами є різні символічні позначення логічних сполучників у випадку пропозицій та множин.

Алгебраїчні вирази

Алгебраїчний вираз - це поєднання алгебраїчних змінних за допомогою раніше визначених операцій. Прикладами цього є основні операції додавання, віднімання, множення та ділення між числами або логічні сполучники в пропозиціях та множинах.

Алгебраїчні міркування відповідають за вираження математичних міркувань чи аргументів через алгебраїчні вирази.

Ця форма вираження допомагає спростити і скоротити написання, оскільки використовує символічні позначення і дозволяє краще зрозуміти міркування, представляючи його більш чітким і точним способом.

Приклади

Давайте розглянемо кілька прикладів, які показують, як використовують алгебраїчні міркування. Він використовується дуже регулярно для вирішення проблем логіки та міркувань, як ми побачимо незабаром.

Розглянемо відоме математичне судження "сума двох чисел є комутативною". Подивимось, як ми можемо алгебраїчно висловити це судження: якщо задано два числа "а" та "б", що це судження означає, що a + b = b + a.

Міркування, що використовується для інтерпретації початкового твердження та його вираження в алгебраїчних термінах, є алгебраїчним міркуванням.

Можна також згадати відомий вираз "порядок факторів не змінює добуток", який посилається на те, що добуток двох чисел також є комутативним і алгебраїчно виражається як axb = bxa.

Аналогічно, асоціативні та розподільні властивості додавання та добутку, в які включено віднімання та ділення, можуть бути виражені алгебраїчно (і є).

Цей тип міркувань охоплює дуже широку мову і використовується у багатьох різних контекстах. Залежно від кожного конкретного випадку, у цих контекстах необхідно розпізнавати зразки, інтерпретувати речення та узагальнювати та формалізувати їх вираження в алгебраїчних термінах, надаючи дійсні та послідовні міркування.

Розв’язані вправи

Нижче наведено деякі логічні задачі, які ми вирішимо за допомогою алгебраїчного міркування:

Перша вправа

Яке число, яке, взявши половину з нього, дорівнює одиниці?

Рішення

Для вирішення цього типу вправ дуже корисно представити значення, яке ми хочемо визначити за допомогою змінної. У цьому випадку ми хочемо знайти число, яке, приймаючи половину, призводить до числа один. Позначимо через x шукане число.

"Взяття половини" числа означає, що ділимо його на 2. Отже, вищевикладене можна виразити алгебраїчно як x / 2 = 1, і задача зводиться до розв'язання рівняння, яке в даному випадку є лінійним і дуже легко розв’язане. Розв’язуючи для x, отримуємо, що рішення x = 2.

На закінчення 2 - це число, яке при взятті половини дорівнює 1.

Друга вправа

Скільки хвилин до півночі, якщо 10 хвилин тому 5/3 того, що залишилося зараз?

Рішення

Позначимо через "z" кількість хвилин до півночі (будь-який інший лист можна використовувати). Тобто, зараз є “z” хвилин до півночі. Це означає, що 10 хвилин тому "з + 10" хвилин пропало за півночі, і це відповідає 5/3 того, чого зараз немає; тобто (5/3) z.

Тоді задача зводиться до розв’язання рівняння z + 10 = (5/3) z. Помноживши обидві сторони рівності на 3, отримаємо рівняння 3z + 30 = 5z.

Тепер, групуючи змінну "z" на одній стороні рівності, отримуємо, що 2z = 15, з чого випливає, що z = 15.

Так що 15 хвилин до півночі.

Третя вправа

У племені, яке практикує бартер, є такі еквіваленти:

- Спис і намисто обмінюються на щит.

- Списа рівносильні ножу та намисто.

- Обмінюються два щити на три одиниці ножів.

Скільки намиста еквівалентно списом?

Рішення

Шон:

Co = намисто

L = спис

Е = щит

Cu = ніж

Отже, у нас є такі відносини:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Тож проблема зводиться до вирішення системи рівнянь. Незважаючи на те, що має більше невідомих, ніж рівнянь, цю систему можна вирішити, оскільки вони не задають нам конкретного рішення, а однієї зі змінних як функції іншої. Що ми маємо зробити, це виразити "Co" виключно в термінах "L".

З другого рівняння маємо, що Cu = L - Co. Підставляючи третє, отримуємо, що E = (3L - 3Co) / 2. Нарешті, замінивши в першому рівнянні та спростивши, виходить, що 5Co = L; тобто спис дорівнює п'яти кольє.

Список літератури

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Математика: підхід до вирішення проблем для вчителів початкової освіти. Лопес Матеос Редактори.
2. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТ. Вступ до обчислення. Lulu.com.
3. Гарсія Руа, Дж. Та Мартінес Санчес, JM (1997). Елементарна основна математика. Міністерство освіти.
4. Різ, ПК (1986). Алгебра. Поверніть.
5. Рок, НМ (2006). Алгебра я проста! Так легко. Team Rock Press.
6. Smith, SA (2000). Алгебра. Пірсон освіта.
7. Szecsei, D. (2006). Основна математика та попередня алгебра (ілюстровано ред.). Кар'єра Прес.