СКОРОЧЕННЯ ПОДІБНИХ ТЕРМІНІВ (ІЗ ВПРАВАМИ ВИРІШЕНО) - МАТЕМАТИКА - 2025

Скорочення таких термінів є методом , використовуваним для спрощення виразів алгебри. В алгебраїчному виразі подібними термінами є ті, що мають ту саму змінну; тобто у них однакові невідомі, представлені буквою, і у них однакові експоненти.

У деяких випадках поліноми є великими, і щоб дійти до рішення, потрібно спробувати зменшити вираз; Це можливо, коли є подібні терміни, які можна поєднувати, застосовуючи операції та алгебраїчні властивості, такі як додавання, віднімання, множення та ділення.

Пояснення

Подібно терміни складаються з одних і тих же змінних з однаковими показниками, а в деяких випадках вони диференціюються лише їх числовими коефіцієнтами.

Подібними термінами вважаються також ті, що не мають змінних; тобто ті терміни, які мають лише константи. Так, наприклад, такі терміни, як терміни:

- 6x ² - 3x ² . Обидва доданки мають однакову змінну x ² .

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³ . Обидва умови мають однакові змінні a ² b ³ .

- 7 - 6. Терміни постійні.

Ті терміни, які мають однакові змінні, але з різними показниками, називаються різними термінами, такими як:

- 9a ² b + 5ab. Змінні мають різні показники.

- 5х + у. Змінні різні.

- b - 8. Один доданок має змінну, інший - константу.

Визначаючи подібні терміни, що утворюють многочлен, їх можна звести до одного, поєднуючи всі ті, що мають однакові змінні, з тими ж показниками. Таким чином вираз спрощується за рахунок зменшення кількості доданків, що складають його, і обчислення його рішення полегшується.

Як зробити скорочення подібних термінів?

Зменшення подібних доданків здійснюється за допомогою застосування асоціативної властивості додавання та розподільної властивості продукту. За допомогою наступної процедури можна зменшити термін:

- По-перше, як терміни згруповані.

- Коефіцієнти (числа, що супроводжують змінні) подібних доданків додаються або віднімаються, і застосовуються асоціативні, комутативні або розподільні властивості, залежно від випадку.

- Тоді записуються нові отримані терміни, ставлячи перед собою знак, що був результатом операції.

Приклад

Зменшіть умови наступного виразу: 10x + 3y + 4x + 5y.

Рішення

По-перше, впорядковано умови групувати подібні, застосовуючи комутативну властивість:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Потім застосовується властивість розподілу і додаються коефіцієнти, що супроводжують змінні, для отримання скорочення доданків:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) х + (3 + 5) у

= 14x + 8y.

Для скорочення подібних доданків важливо враховувати знаки коефіцієнтів, які супроводжують змінну. Можливі три випадки:

Скорочення подібних доданків з рівними знаками

У цьому випадку додаються коефіцієнти і перед результатом ставиться знак термінів. Тому, якщо вони позитивні, отримані умови будуть позитивними; у випадку, якщо умови негативні, результат матиме знак (-), що супроводжується змінною. Наприклад:

а) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² .

б) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Скорочення подібних доданків c

У цьому випадку коефіцієнти віднімаються, а знак найбільшого коефіцієнта ставиться перед результатом. Наприклад:

а) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6х ² і.

б) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 до ³ б.

Таким чином, для зменшення подібних доданків, що мають різні ознаки, утворюється єдиний додаючий доданок із усіма тими, що мають позитивний знак (+), додаються коефіцієнти і результат супроводжується змінними.

Таким же чином утворюється віднімаючий доданок, при цьому всі ті доданки, які мають від’ємний знак (-), додають коефіцієнти і результат супроводжуються змінними.

Нарешті віднімаються суми двох утворених доданків, а на результат ставиться знак більшої.

Скорочення подібних термінів в операціях

Скорочення подібних доданків - це операція алгебри, яку можна застосувати на додавання, віднімання, множення та алгебраїчний поділ.

Сумами

Коли у вас є декілька многочленів із подібними термінами, щоб зменшити їх, впорядковані умови кожного многочлена зберігають їхні знаки, потім вони записуються один за одним і подібні терміни скорочуються. Наприклад, у нас є такі многочлени:

3x - 4xy + 7x ² і + 5xy ² .

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

У відніманні

Для відняття одного многочлена від іншого записується мінус, а потім змінюється підрядок із його ознаками, після чого робиться скорочення подібних доданків. Наприклад:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Таким чином, поліноми підсумовані до 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c.

У множеннях

У добутку многочленів доданки, що складають множину, множать на кожен доданок, що складає множник, враховуючи, що ознаки множення залишаються однаковими, якщо вони позитивні.

Вони будуть змінені лише тоді, коли помножити на від'ємний термін; тобто коли множать два доданки одного знака, результат буде позитивним (+), а коли вони мають різні знаки, результат буде негативним (-).

Наприклад:

а) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ² .

б) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ² .

в) (а - б) _* (а - б)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ² .

У підрозділах

Коли ви хочете зменшити два многочлени через ділення, ви повинні знайти третій многочлен, який при множенні на другий (дільник) призводить до першого многочлена (дивіденда).

Для цього умови дивіденду та дільника повинні бути впорядковані зліва направо, щоб змінні в обох були в одному порядку.

Потім проводиться поділ, починаючи з першого терміну зліва від дивіденду до першого терміну зліва від дільника, завжди з урахуванням ознак кожного терміна.

Наприклад, зменшіть многочлен: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² та ² + 4xy ³ - 15y ^4, поділивши його на многочлен: -5x ² + 4xy + 3y ² .

Отриманий многочлен дорівнює -2x ² + 8xy - 5y ² .

Розв’язані вправи

Перша вправа

Зменшіть доданки алгебраїчного виразу:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Рішення

Застосовується комутативна властивість додавання, групуючи терміни, що мають однакові змінні:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ² ) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Тоді застосовується розподільна властивість множення:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Нарешті, їх спрощують шляхом додавання та віднімання коефіцієнтів кожного члена:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25а ² - 14аб - 4.

Друга вправа

Спростіть добуток наступних многочленів:

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7 xy ² ).

Рішення

Кожен доданок першого многочлена множиться на другий, враховуючи, що ознаки термінів різні; отже, результат його множення буде негативним, а також повинні застосовуватися закони показників.

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7xy ² )

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ .

Список літератури

1. Angel, AR (2007). Елементарна алгебра. Pearson Education,.
2. Бальдор, А. (1941). Алгебра. Гавана: Культура.
3. Джером Е. Кауфман, К.Л. (2011). Елементарна та проміжна алгебра: комбінований підхід. Флорида: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Алгебра. Пірсон освіта.
5. Бдіння, С. (2015). Алгебра та її застосування.