ПРАВИЛО САРРУС: З ЧОГО ВІН СКЛАДАЄТЬСЯ І ВИДИ ВИЗНАЧНИКІВ - КУЛЬТУРНА ЛЕКСИКА - 2025

Правило Sarrus використовується для обчислення результату 3 × 3 детермінанта. Вони використовуються для розв’язання лінійних рівнянь та з'ясування їх сумісності.

Сумісні системи полегшують отримання рішення. Вони також використовуються для визначення того, чи множини векторів лінійно незалежні і складають основу векторного простору.

Ці додатки засновані на оберненості матриць. Якщо матриця регулярна, її визначник відрізняється від 0. Якщо вона є сингулярною, її визначник дорівнює 0. Детермінанти можна обчислити лише у квадратних матрицях.

Для обчислення матриць будь-якого порядку може бути використана теорема Лапласа. Ця теорема дозволяє спростити матриці великих розмірів у сумах малих детермінант, які ми розкладаємо з основної матриці.

У ньому зазначається, що визначник матриці дорівнює сумі добутків кожного рядка або стовпця, кратному визначенню його суміжної матриці.

Це зменшує детермінанти так, що визначник ступеня n стає n детермінантами n-1. Якщо застосовувати це правило послідовно, ми можемо отримати визначники розмірності 2 (2 × 2) або 3 (3 × 3), де його обчислення набагато простіше.

Правило Саррус

П’єр Фредерік Саррус був французьким математиком 19 століття. Більшість його математичних трактатів ґрунтуються на методах розв’язання рівнянь та обчисленнях варіацій у межах чисельних рівнянь.

В одному зі своїх трактатів він розгадав одну з найскладніших загадок з механіки. Для вирішення задач зчленованих фігур Саррус ввів перетворення альтернативних прямолінійних рухів у рівномірні кругові рухи. Ця нова система відома як механізм Саррус.

Дослідження, що дало цьому математику найбільшу популярність, було проведено в статті «Новий метод розв’язання рівнянь», яка була опублікована в журналі «Новий метод розв’язання рівнянь». рік 1833. Цей спосіб розв’язування лінійних рівнянь відомий як правило Сарруса.

Правило Саррус дозволяє обчислити визначник матриці 3 × 3 без необхідності використовувати теорему Лапласа, вводячи набагато простіший та інтуїтивніший метод. Для того, щоб перевірити значення правила Сарруса, ми беремо будь-яку матрицю розмірності 3:

Розрахунок його визначника здійснювався б за допомогою добутку його основних діагоналей, віднімаючи добуток зворотних діагоналей. Це було б так:

Правило Сарруса дозволяє нам набагато полегшити зір при обчисленні діагоналей визначника. Це було б спрощено, додавши перші два стовпці на зворотну сторону матриці. У такий спосіб чіткіше видно, які основні діагоналі, а які - зворотні, для розрахунку добутку.

Через це зображення ми бачимо застосування правила Сарруса, ми включаємо рядки 1 і 2, нижче графічного зображення початкової матриці. Таким чином, основними діагоналями є три діагоналі, які з’являються першими.

Три зворотні діагоналі, у свою чергу, - це ті, які з’являються спочатку ззаду.

Таким чином діагоналі постають більш наочно, не ускладнюючи роздільну здатність визначника, намагаючись з’ясувати, які елементи матриці належать до кожної діагоналі.

Як це відображається на зображенні, ми вибираємо діагоналі і обчислюємо отриманий добуток кожної функції. Діагоналі, які з’являються синім кольором, - це ті, що складаються. До суми цих віднімаємо значення діагоналей, які з’являються червоним кольором.

Щоб полегшити стиснення, ми можемо використовувати числовий приклад замість використання алгебраїчних термінів і підрядів.

Якщо взяти будь-яку матрицю 3 × 3, наприклад:

Щоб застосувати правило Саррус і вирішити його більш наочно, ми повинні включати рядки 1 і 2 як рядки 4 і 5 відповідно. Важливо тримати рядок 1 у 4-й позиції, а рядок 2 - у 5-й. Оскільки, якщо ми їх обміняємо, Правило Саррус не буде ефективним.

Щоб обчислити визначник, наша матриця буде такою:

Щоб продовжити обчислення, помножимо елементи основних діагоналей. Нащадки, що починаються зліва, матимуть позитивний знак; тоді як зворотні діагоналі, які починаються справа, мають негативний знак.

У цьому прикладі сині мали б позитивний знак, а червоні - негативний. Остаточний розрахунок Правила Саррус виглядав би так:

Види визначників

Визначник розмірності 1

Якщо розмірність матриці дорівнює 1, матриця виглядає так: A = (a)

Тому його визначальним фактором було б таке: det (A) = -A- = a

Підсумовуючи, детермінант матриці A дорівнює абсолютній величині матриці A, яка в даному випадку є a.

Визначник розмірності 2

Якщо ми перейдемо до матриць розмірності 2, отримаємо матриці типу:

Де його визначник визначається як:

Розв’язання цього визначника ґрунтується на множенні його основної діагоналі, відніманні добутку його зворотної діагоналі.

Як мнемоніки ми можемо використовувати наступну діаграму, щоб запам'ятати її визначальний чинник:

Визначник розмірності 3

Якщо розмірність матриці дорівнює 3, отримана матриця буде такого типу:

Детермінант цієї матриці був би вирішений через правило Сарру таким чином:

Список літератури

1. Дженні Олив (1998) Математика: Посібник з виживання студента. Cambridge University Press.
2. Річард Дж. Браун (2012) Математика 30 секунд: 50 найпоширеніших теорій математики. Ivy Press Limited.
3. Дейв Кіркбі (2004) Maths Connect. Хайнеман.
4. Awol Assen (2013) Дослідження обчислення детермінант матриці 3 × 3. Академічне видавництво Ламп.
5. Ентоні Ніколайдес (1994) Детермінанти та матриці. Пройти публікацію.
6. Джессі Рассел (2012) Правило Саррус.
7. М. Кастелейро Віллаба (2004) Вступ до лінійної алгебри. Редакція ESIC.