ПРАВИЛО СІМПСОНА: ФОРМУЛА, ДОКАЗ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Сімпсон «и правило є метод розрахунку, приблизно, визначених інтегралів. Він заснований на поділі інтервалу інтеграції на парне число однаково розташованих під інтервалів.

Крайні значення двох послідовних інтервалів визначають три точки, за якими підходить парабола, рівняння якої є поліномом другого ступеня.

Малюнок 1. У методі Сімпсона інтервал інтеграції підрозділяється на парне число інтервалів однакової ширини. Функція наближається параболою через кожні 2 підпроміжки, а інтеграл наближається до суми площі під параболами. Джерело: upv.es.

Тоді площа під кривою функції у двох послідовних інтервалах апроксимується площею многочлена інтерполяції. Додаючи внесок у область під параболою всіх послідовних підпроміжків, ми маємо приблизне значення інтеграла.

З іншого боку, оскільки інтеграл параболи можна обчислити алгебраїчно точно, то можна знайти аналітичну формулу для приблизного значення визначеного інтеграла. Він відомий як формула Сімпсона.

Похибка отриманого таким чином приблизного результату зменшується, оскільки кількість підрозділів n більша (де n - парне число).

Нижче буде наведено вираз, який дозволяє оцінити верхню межу помилки наближення до інтеграла I, коли зроблено розділ на n регулярних підінтервалів загального інтервалу.

Формула

Інтервал інтеграції підрозділяється на n підінтервалів, причому n є парним цілим числом. Ширина кожного підрозділу буде:

h = (b - a) / n

Таким чином розділ робиться через інтервал:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Де X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Формула, яка дозволяє наблизити визначений інтеграл I безперервної, а переважно гладкої, функції в інтервалі:

Демонстрація

Для отримання формули Сімпсона у кожному підінтервалі функція f (X) апроксимується поліномом другого ступеня p (X) (парабола), який проходить через три точки:; і.

Тоді обчислюється інтеграл многочлена p (x), в якому він наближає інтеграл функції f (X) на цьому інтервалі.

Малюнок 2. Графік для демонстрації формули Сімпсона Джерело: Ф. Сапата.

Коефіцієнти інтерполяційного многочлена

Рівняння параболи p (X) має загальний вигляд: p (X) = AX ² + BX + C. Оскільки парабола проходить через точки Q, зазначені червоним кольором (див. Рисунок), то коефіцієнти A, B, C визначаються з наступної системи рівнянь:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Видно, що визначається коефіцієнт С. Для визначення коефіцієнта А додаємо перше і третє рівняння, отримуючи:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Тоді значення C замінюється і A очищається, залишаючи:

A = / (2 год. ² )

Для визначення коефіцієнта B третє рівняння віднімаємо від першого і B розв'язуємо, отримуючи:

B = = 2 год.

Підсумовуючи, поліном другого ступеня p (X), який проходить через точки Qi, Qi + 1 і Qi + 2, має коефіцієнти:

A = / (2 год. ² )

B = = 2 год

C = f (Xi + 1)

Обчислення приблизного інтеграла в

Орієнтовний обчислення інтеграла в

Як вже було сказано, розділ {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} робиться на загальному інтервалі інтеграції з кроком h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, де n - парне число.

Помилка наближення

Зауважимо, що помилка зменшується з четвертим значенням числа підрозділів в інтервалі. Наприклад, якщо ви переходите з n підрозділів до 2n, то помилка зменшується на коефіцієнт 1/16.

Верхня межа похибки, отриманої завдяки наближенню Сімпсона, може бути отримана з цієї ж формули, замінивши четверту похідну на максимальне абсолютне значення четвертої похідної в інтервалі.

Опрацьовані приклади

- Приклад 1

Розглянемо функцію f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Знайдіть певний інтеграл функції f (X) на проміжку, використовуючи метод Сімпсона з двома підрозділами (n = 2).

Рішення

Візьмемо n = 2. Межі інтеграції a = -1 і b = -2, тому розділ виглядає так:

X0 = -1; X1 = 0 і X2 = +1.

Тому формула Сімпсона приймає такий вигляд:

Малюнок 3. Приклад числової інтеграції за правилом Сімпсона за допомогою програмного забезпечення. Джерело: Ф. Сапата.

Список літератури

1. Кастелейро, JM 2002. Комплексне обчислення (ілюстроване видання). Мадрид: Редакція ESIC.
2. UPV. Метод Сімпсона. Політехнічний університет Валенсії. Відновлено з: youtube.com
3. Перселл, Е. 2007. Обчислення дев'ятого видання. Prentice Hall.
4. Вікіпедія. Правило Сімпсона Відновлено з: es.wikipedia.com
5. Вікіпедія. Інтерполяція полінома Лагранжа. Відновлено з: es.wikipedia.com