СИЛОВІ СЕРІЇ: ПРИКЛАДИ ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Ряд потужностей складається з підсумовування доданків у вигляді потужностей змінної x, або, загалом, xc, де c - постійне дійсне число. У позначенні підсумовування ряд повноважень виражається так:

Там, де коефіцієнти a _o , a ₁ , ₂ … є дійсними числами, а ряд починається з n = 0.

Малюнок 1. Визначення ряду потужностей. Джерело: Ф. Сапата.

Цей ряд орієнтований на значення c, яке є постійним, але ви можете вибрати, що c дорівнює 0, і в цьому випадку ряд потужності спрощується до:

Серії починаються з _або (xc) ⁰ і a _або x ⁰ відповідно. Але ми знаємо це:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Тому _про (хс) ⁰ = а _або х ⁰ = а _про (незалежний член)

Хороша річ у силових серіях - це те, що функції можна виражати разом із ними, і це має багато переваг, особливо якщо ви хочете працювати зі складною функцією.

У такому випадку замість того, щоб безпосередньо використовувати функцію, використовуйте її розширення ряду потужностей, що може бути простіше отримати, інтегрувати чи працювати чисельно.

Звичайно, все обумовлено зближенням серії. Серія, що сходиться при додаванні певної великої кількості термінів, дає фіксовану величину. І якщо ми додамо ще більше термінів, ми продовжуємо отримувати це значення.

Функціонує як Power Series

Як приклад функції, вираженої рядом потужностей, візьмемо f (x) = e ^x .

Ця функція може бути виражена через ряд повноважень таким чином:

і ^х ≈ 1 + х + (х ² /2!) + (х ³ /3!) + (х ⁴ /4!) + (х ⁵ /5!) + …

Куди! = n. (п-1). (п-2). (n-3)… і це займає 0! = 1.

Ми перевіримо за допомогою калькулятора, чи дійсно серія збігається з функцією, заданою явно. Наприклад, почнемо з x = 0.

Ми знаємо, що e ⁰ = 1. Подивимося, що робить серія:

і ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

А тепер спробуємо x = 1. Калькулятор повертає, що e ¹ = 2.71828, а потім порівняємо з рядом:

і ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

З лише 5 термінами ми вже маємо точну відповідність у e ≈ 2,71. У нашої серії є ще трохи, але як додається більше термінів, серія, безумовно, збігається з точним значенням e. Представлення точне, коли n → ∞.

Якщо попередній аналіз повторюється для n = 2, отримуються дуже схожі результати.

Таким чином ми впевнені, що експоненціальна функція f (x) = e ^x може бути представлена ​​цією низкою сил:

Малюнок 2. У цій анімації ми бачимо, як силові ряди наближаються до експоненціальної функції в міру прийняття більше термінів. Джерело: Wikimedia Commons.

Геометричний ряд потужностей

Функція f (x) = e ^x - не єдина функція, яка підтримує подання рядів потужності. Наприклад, функція f (x) = 1/1 - x дуже схожа на відомий збірний геометричний ряд:

Досить виконати a = 1 і r = x, щоб отримати ряд, придатний для цієї функції, в центрі якого знаходиться c = 0:

Однак відомо, що цей ряд є конвергентним для │r│ <1, тому подання справедливе лише в інтервалі (-1,1), хоча функція діє для всіх x, крім x = 1.

Коли ви хочете визначити цю функцію в іншому діапазоні, ви просто орієнтуєтесь на відповідне значення і все закінчено.

Як знайти послідовне розширення повноважень функції

Будь-яка функція може бути розроблена в силовому ряді, зосередженому на c, доки вона має похідні всіх порядків при x = c. Процедура використовує наступну теорему, що називається теоремою Тейлора:

Нехай f (x) - функція з похідними порядку n, позначена як f ⁽ⁿ⁾ , яка допускає послідовне розширення потужностей на проміжку I. Його серійний розвиток Тейлора:

Так що:

Де R _n , що є n-м членом ряду, називається залишком:

При c = 0 ряд називається рядом Маклауріна.

Цей ряд, наведений тут, ідентичний ряду, наведеному на початку, тільки тепер у нас є спосіб явно знайти коефіцієнти кожного доданка, задані:

Однак ми повинні гарантувати, що ряд зближується з функцією, яку потрібно представити. Буває так, що не кожен ряд Тейлора обов'язково збігається до f (x), що мав на увазі при обчисленні коефіцієнтів при _n .

Це відбувається тому, що, можливо, похідні функції, оцінені на x = c, збігаються з тим самим значенням похідних іншої, також при x = c. У цьому випадку коефіцієнти були б однаковими, але розвиток був би неоднозначним, оскільки невідомо, якій функції він відповідає.

На щастя, є спосіб дізнатися:

Критерій конвергенції

Щоб уникнути неоднозначності, якщо R _n → 0 як n → ∞ для всіх x в інтервалі I, ряд сходиться до f (x).

Вправа

- Вправа розв’язана 1

Знайдіть геометричний ряд потужностей для функції f (x) = 1/2 - x з центром у c = 0.

Рішення

Дана функція повинна бути виражена таким чином, щоб вона максимально збігалася з 1 / 1- x, ряд яких відомий. Тож давайте перепишемо чисельник та знаменник, не змінюючи початковий вираз:

1/2 - x = (1/2) /

Оскільки ½ є постійною, вона виходить із підсумовування, і вона записується через нову змінну x / 2:

Зауважимо, що x = 2 не належить до області функції, і згідно з критерієм конвергенції, наведеним у розділі серії Геометричні потужності, розширення дійсне для │x / 2│ <1 або еквівалентно -2 <x <2.

- Вправа розв’язана 2

Знайдіть перші 5 доданків розширення функції Maclaurin серії f (x) = sin x.

Рішення

Крок 1

Спочатку є похідні:

-Похідне від порядку 0: це та сама функція f (x) = sin x

-Перша похідна: (sin x) ´ = cos x

-Друга похідна: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Тредова похідна: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Четверта похідна: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Крок 2

Тоді кожна похідна оцінюється за x = c, як це розширення Маклауріна, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Крок 3

Побудовані коефіцієнти a _n ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

Крок 4

Нарешті серія збирається відповідно до:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0. .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Чи потрібно читачеві більше термінів? Скільки ще, серія ближче до функції.

Зауважте, що в коефіцієнтах є закономірність, наступний ненульовий додаток - це _5, а всі ті, що мають непарний індекс, також відрізняються від 0, чергуючи знаки, так що

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Залишається як вправа перевірити її збіжність, критерій коефіцієнта може бути використаний для зближення рядів.

Список літератури

1. Фонд CK-12. Power Series: представлення функцій та операцій. Відновлено з: ck12.org.
2. Енглер, А. 2019. Інтегральне числення. Національний університет Літоралу.
3. Ларсон, Р. 2010. Розрахунок змінної. 9-й. Видання. McGraw Hill.
4. Математика Безкоштовні тексти. Силові серії. Відновлено з: math.liibretexts.org.
5. Вікіпедія. Силові серії. Відновлено з: es.wikipedia.org.