ОСЬОВА СИМЕТРІЯ: ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Осьова симетрія , коли точки фігур збігаються з точками іншої фігури по прямій бісектрисі називається віссю симетрії. Його також називають радіальною, обертальною або циліндричною симетрією.

Зазвичай він застосовується в геометричних фігурах, але він легко спостерігається в природі, оскільки є такі тварини, як метелики, скорпіони, сонечко або людина, які демонструють осьову симетрію.

Осьова симетрія демонструється на цій фотографії горизонту міста Торонто та її відображенні у воді. (Джерело: pixabay)

Як знайти осьову симетричну

Для знаходження осьової симетрії точки P 'точки P щодо прямої (L) виконуються такі геометричні операції:

1.— Перпендикуляр до прямої (L), яка проходить через точку P.

2.— Перехоплення двох прямих визначає точку O.

3.- Вимірюється довжина відрізка PO, потім ця довжина копіюється на лінію (PO), починаючи з O у напрямку від P до O, визначаючи точку P '.

4.- Точка P '- осьова симетрія точки P щодо осі (L), оскільки лінія (L) є бісектрисою відрізка РР', що є O серединою зазначеного відрізка.

Малюнок 1. Дві точки P і P 'є аксіально симетричними відносно осі (L), якщо вісь є бісектрисою відрізка PP'

Властивості осьової симетрії

- Осьова симетрія ізометрична, тобто збережені відстані геометричної фігури та її відповідна симетрія.

- Міра кута та його симетричність рівні.

- осьова симетрія точки на осі симетрії - сама точка.

- Симетрична лінія лінії, паралельної осі симетрії, також є лінією, паралельною осі.

- Секантна лінія до осі симетрії має як симетричну лінію ще одну семантичну лінію, яка, в свою чергу, перетинає вісь симетрії в тій же точці на початковій лінії.

- Симетричне зображення лінії - це ще одна лінія, яка утворює кут з віссю симетрії тієї ж міри, що і вихідна лінія.

- Симетричне зображення лінії, перпендикулярної осі симетрії, - це ще одна лінія, яка перекриває першу.

- Лінія та її осьова симетрична лінія утворюють кут, бісектриса якого є віссю симетрії.

Малюнок 2. Осьова симетрія зберігає відстані та кути.

Приклади осьової симетрії

Природа демонструє безліч прикладів осьової симетрії. Наприклад, ви можете бачити симетрію облич, таких комах, як метелики, відображення спокійних водних поверхонь та дзеркал чи листя рослин, серед багатьох інших.

Малюнок 3. Цей метелик демонструє майже ідеальну осьову симетрію. (Джерело: pixabay)

Малюнок 4. Обличчя цієї дівчини має осьову симетрію. (Джерело: pixabay)

Вправи на осьову симетрію

Вправа 1

Маємо трикутник вершин A, B і C, декартові координати відповідно A = (2, 5), B = (1, 1) і C = (3,3). Знайдіть декартові координати трикутника, симетричного щодо осі Y (ординатна вісь).

Рішення: Якщо точка P має координати (x, y), то її симетрична щодо осі ординат (вісь Y) дорівнює P '= (- x, y). Іншими словами, значення його абсциси змінюється знаком, тоді як значення ординат залишається колишнім.

У цьому випадку симетричний трикутник з вершинами A ', B' і C 'матиме координати:

А '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) і C' = (- 3, 3), як видно на рисунку 6.

Малюнок 6. Якщо точка має координати (x, y), її симетрична щодо осі Y (ординатна вісь) матиме координати (-x, y).

Вправа 2

Посилаючись на трикутник ABC та його симетричний A'B'C 'з вправи 1, перевірте, чи мають відповідні сторони початкового трикутника та його симетричні однакові довжини.

Рішення: Щоб знайти відстань або довжину сторін, ми використовуємо формулу відстані Евкліда:

d (A, B) = √ ((Bx - Axe) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Довжина відповідної симетричної сторони A'B 'обчислюється нижче:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Таким чином перевіряється, що осьова симетрія зберігає відстань між двома точками. Процедуру можна повторити для інших двох сторін трикутника та його симетричності для перевірки інваріантності по довжині. Наприклад, -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Вправа 3

Стосовно трикутника ABC та його симетричного A'B'C 'із вправи 1 перевірте, чи мають відповідні кути початкового трикутника та його симетричну однакову кутову міру.

Рішення: Щоб визначити міри кутів BAC і B'A'C ', спочатку обчислимо скалярний добуток векторів AB з AC, а потім скалярний добуток A'B' з A'C ' .

Пам'ятаючи про це:

A = (2, 5), B = (1, 1) і C = (3,3)

А '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) і C' = (- 3, 3).

Це має:

AB = <1-2, 1-5> і AC = <3-2, 3-5>

аналогічно

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> і AC = <-3 + 2, 3-5>

Потім знаходять такі скалярні продукти:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Аналогічно

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Вимірюванням кута BAC є:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Аналогічно, міра кута B'A'C 'дорівнює:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Висновок, що осьова симетрія зберігає міру кутів.

Вправа 4

Нехай точка P - координати (a, b). Знайдіть координати його осьової симетрії P 'відносно прямої у = х.

Рішення: Будемо називати (a ', b') координати симетричної точки P 'відносно прямої y = x. Середня точка M відрізка PP 'має координати ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) і також знаходиться на прямій y = x, тому виконується наступна рівність:

a + a '= b + b'

З іншого боку, відрізок РР 'має нахил -1, оскільки він перпендикулярний до прямої у = х зі нахилом 1, тому виконується така рівність:

b - b '= a' -a

Вирішуючи для двох попередніх рівностей a 'і b', робимо висновок, що:

a '= цим b' = a.

Тобто, з огляду на точку P (a, b), її осьова симетрія щодо прямої y = x є P '(b, a).

Список літератури

1. Arce M., Blázquez S та інші. Перетворення площини. Відновлено з: educutmxli.files.wordpress.com
2. Розрахунок куб. Осьова симетрія. Відновлено з: Calculo.cc
3. Суперпроф. Осьова симетрія. Відновлено з: superprof.es
4. Вікіпедія. Осьова симетрія. Відновлено з: es.wikipedia.com
5. Вікіпедія. Кругова симетрія. Відновлено з: en.wikipedia.com