- Формули та властивості
- Площа під кривою
- Розв’язані вправи
- - Вправа 1
- Рішення
- - Вправа 2
- Рішення
- Список літератури
Сума Рімана є ім'я , дане наближеного обчислення певного інтеграла, за допомогою дискретного підсумовування з кінцевим числом членів. Поширене застосування - це наближення площі функцій на графіку.
Саме німецький математик Георг Фрідріх Бернхард Ріман (1826-1866) вперше запропонував чітке визначення інтеграла функції в заданому інтервалі. Про це він повідомив у статті, опублікованій у 1854 році.
Рисунок 1. Сума Рімана визначається на функції f та на перегородці в інтервалі. Джерело: Фанні Сапата.
Сума Рімана визначається на функції y = f (x), причому x належить до замкнутого інтервалу. На цьому проміжку складається розділ P з n елементів:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Це означає, що інтервал ділиться так:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
На малюнку 1 графічно показана Ріманова сума функції f в проміжку на перегородці з чотирьох підінтервалів, сірих прямокутників.
Сума представляє загальну площу прямокутників, і результат цієї суми чисельно наближає площу під кривою f, між абсцисою x = x 0 і x = x 4 .
Звичайно, наближення до площі під кривою значно покращується, оскільки число n перегородок більше. Таким чином сума сходиться до області під кривою, коли число n перегородок прагне до нескінченності.
Формули та властивості
Ріманова сума функції f (x) на перегородці:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Визначений через інтервал, він задається:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Де t k - значення в інтервалі. У Рімановій сумі зазвичай використовують регулярні інтервали шириною Δx = (b - a) / n, де a і b - мінімальні та максимальні значення абсцис, а n - кількість підрозділів.
У цьому випадку права Рімана сума:
Sd (f, n) = * Δx
Малюнок 2. Права сума Рімана. Джерело: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Тоді як ліва сума Рімана виражається як:
Якщо (f, n) = * Δx
Малюнок 3. Ліва сума Рімана. Джерело: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Нарешті, центральна сума Рімана:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Малюнок 4. Проміжна сума Рімана. Джерело: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Залежно від того, де в інтервалі знаходиться точка t k , сума Рімана може завищувати або занижувати точне значення площі під кривою функції y = f (x). Іншими словами, прямокутники можуть або виступати з кривої, або бути трохи нижче неї.
Площа під кривою
Основна властивість суми Рімана і з якої випливає її значення, полягає в тому, що якщо кількість підрозділів тягнеться до нескінченності, результат суми сходиться до визначеного інтегралу функції:
Розв’язані вправи
- Вправа 1
Обчисліть значення визначеного інтеграла між a = -2 через b = +2 функції:
f (x) = x 2
Скористайтеся сумою Рімана. Для цього спочатку знайдіть суму для n регулярних розділів інтервалу, а потім візьміть математичну межу для випадку, коли кількість розділів прагне до нескінченності.
Рішення
Це наступні кроки:
-По-перше, інтервал розділення визначається як:
Δx = (b - a) / n.
-Тоді сума Рімана справа, що відповідає функції f (x), виглядає так:
-А потім він ретельно заміщений у підсумовуванні:
-Наступний крок - відокремити підсумки та прийняти постійні величини як загальний фактор кожної суми. Необхідно враховувати, що індекс є i, тому числа і терміни з n вважаються постійними:
-Всяка сума оцінюється, оскільки для кожного з них є відповідні вирази. Наприклад, перша із сум дає n:
-Зазвичай, обчислюється інтеграл:
Читач може перевірити, що це точний результат, який можна отримати, вирішивши невизначений інтеграл і оцінивши межі інтеграції за правилом Барроу.
- Вправа 2
Приблизно визначте площу під функцією:
F (X) = (1 / √ (2π)) е (-x 2 /2)
Введіть x = -1 і x = + 1, використовуючи центральну суму Рімана з 10 розділів. Порівняйте з точним результатом і оцініть відсоткову різницю.
Рішення
Крок або приріст між двома послідовними дискретними значеннями:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Отже розділ P, на якому визначені прямокутники, виглядає так:
Р = {-1.0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}
Але оскільки потрібна центральна сума, функція f (x) буде оцінюватися в середині точок підінтервалів, тобто у множині:
Т = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.
Сума (центральної) Рімана виглядає приблизно так:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Оскільки функція f симетрична, можна зменшити суму лише до 5 доданків, а результат помножити на два:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Функція, наведена в цьому прикладі, не що інше, як відомий гауссовий дзвін (нормалізований, із середнім рівним нулю та стандартним відхиленням). Площа під кривою в інтервалі для цієї функції, як відомо, становить 0,6827.
Малюнок 5. Площа під гауссовим дзвоном, апроксимована сумою Рімана. Джерело: Ф. Сапата.
Це означає, що приблизне рішення, що має лише 10 доданків, відповідає точному рішенню до трьох знаків після коми. Відсоткова помилка між приблизним та точним інтегралом становить 0,07%.
Список літератури
- Кастелейро, Дж. М., Гомес-Альварез, РП (2002). Інтегральне числення (Ілюстрований ред.). Мадрид: Редакція ESIC.
- Унікан. Історія поняття інтеграл. Відновлено з: repositorio.unican.es
- UIS. Ріман підсумовує. Відновлено: matematicas.uis.edu.co
- Вікіпедія. Ріманська сума. Відновлено з: es.wikipedia.com
- Вікіпедія. Інтеграція Рімана. Відновлено з: es.wikipedia.com